Kolokvij 2012., intraf

[room]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2011-12/kolokvij2.pdf

Moze pomoc sa prvim i zadnjim?

[alenand]

U prvom kombiniraj ove dvije jednadžbe da dobiješ neku parametrizaciju. Npr. iz [tex]x^2+y^2+z^2=1, x=y[/tex] dobiješ [tex]2y^2+z^2=1[/tex]
iz čega onda slijedi [tex]y=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t, z=\sin t[/tex] i napokon x=y pa [tex]x=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t[/tex]. Sad se samo uvrsti parametrizacija u integral, i lako se dobije rješenje [tex]2\pi[/tex].

U zadnjem zadatku se računa površina po definiciji t.d. vidi skriptu oko tog. Problem je kako je zadani integral malo loše postavljen - vodi do ekstremno napornog integrala: [tex]\int_0^1\int_0^1 \sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy[/tex] pa ako dobiješ to, recimo da je zadatak riješen. (Inače, vrijednost integrala možeš npr. dobiti u wolframu, ispadne neki veliki izraz sa puno arctan i log t.d. nije stvar pristupa - rješenje jest komplicirano).

[room]

Hvala puno

Jos iz ovo imam pitanje: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2012-13/kolokvij2.pdf

6. b i c.. muce me te domene.

[alenand]

Radi se baš o kutnoj formi s predavanja tako da je valjda profesor pričao nešto o tome. Kažem to ukoliko pomogne prisjećanju

Teorem kaže da ako je forma egzaktna onda vrijednost krivuljnog integrala ovisi samo o početnoj i završnoj točki.
Ukratko, za b) samo uzmeš neku zatvorenu krivulju i uvrstiš njenu parametrizaciju i provjeriš da integral NIJE 0. U pravilu je uvijek dovoljno uzeti kružnicu [tex]x=\cos t, y=\sin t[/tex]

Za c) se radi o tome da je ta domena zvjezdasti skup - valjda se stiglo spomenuti na predavanjima da vrijedi "Zatvorena forma na zvjezdastom skupu je egzaktna."
Inače bi se mogla izbaciti i bilo koja druga zraka (polupravac) i objašnjenje bi bilo isto.
Za malo više ideja možeš pogledat dugački post ovdje
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=20295
gdje sam nabacao par ideja, ali mislim da je najbrže i najbolje pozvati se na taj teorem o zvjezdastom skupu.

[mew_17]

Da ne otvaram novu temu...Može pomoć s trećim ovdje?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/1314_pop.pdf

edit: može i četvrtim

[alenand]

Znači čak se i popravne riješava Ova dva zadatka, ne bih htio pretjerati, ali malo ukazuju na određene sadistički sklonosti tko god ih je smišljao.
Dobro, više ovaj četvrti... treći je skoro simpatičan (osim što nije).
Ok, posao.

3. Potraži sliku toga na internetu ako ne možeš zamisliti. Uglavnom, liči na nešto kružno, kao neka neravnomjerna polukružnica koja ide od kuta pi do 2pi (znači, ispod x-osi). Zbog onog [tex]\sqrt{\sin y}[/tex] člana uvrštavanje ne dolazi u obzir, a i čudno je s polarnim t.d. je ideja koristiti Greenov teorem.
Primijeti da ti ta spirala, u kartezijevom sustavu, počinje onda od točke [tex](-\pi,0)[/tex] i završava u [tex](2\pi,0)[/tex]. Nadopunimo segmentom t. d. imamo pozitivno orijentiranu krivulju. Segment bi onda bi parametriziran s:
[tex](2\pi-t,0),t\in[0,3\pi][/tex]. I sad standardna stvar:
Integral po spirali nas zanima.
Integral po segmentu ide lako.
Skupa su po Greenovom teoremu jednaki dvostrukom integralu po tom području. To nas vodi na dvostruki integral:
[tex]\iint\limits_D (1-x)dxdy=\int_\pi^{2\pi}\int_0^{\phi} (1-r\cos\phi)rdrd\phi[/tex]
Koji se onda lako izračuna (čitaj:ukuca u mathematicu) i dobije se [tex]4-5\pi^2+\frac{7\pi^3}{6}[/tex] i uz malo sreće to je to (još se onda oduzme onaj dio sa segmentom).

4.
Znači stvarno je čudno postavljen zadatak, naime ako ćemo provjeriti teorem o rotaciji (koji povezuju 1-formu i 2-formu) moramo naći 1-formu iz koje je ova 2-forma nastala deriviranjem.
Tj. tražimo formu [tex]\mu=Pdx+Qdy+Rdz[/tex] t.d. diferencijal te forme odgovara danoj 2-formi. Nije baš uobičajen postupak. No dobro, ipak je namješteno da nije nemoguće.

Treba se izvesti općenita formula za diferencijal 1-forme i izjednačiti koeficijente [tex]d\mu=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) dy\wedge dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) dz\wedge dx +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\wedge dy[/tex]=forma iz zadatka.
Vjeruj mi da je teško pisat ove glupe izraze, pa ne bih sad pretjerivao. Uglavnom, kad si to napišeš na papir i malo bolje pogledaš (probaj prvo) vidiš otprilike što bi bilo dobro uzeti. Inače, da nema zabune - ovdje naštimavamo stvari t.d. uopće ne mora to sad biti neko jedinstveno rješenje.
Recimo ispalo bi dobro uzeti [tex]R=x^3y^2[/tex] i još namjestiti P i Q npr. P=0, Q=x. (za P i Q je bilo još opcija, isto kao kad namještaš P i Q za površinu kod Greenovog teorema).
I eto, sad se standardno to izračuna (dosta mukotrpno ofc ).

[mew_17]

Hvala puno!

[room]

EDIT:Ne treba ipak, shvatila sam kaj sam krivo. Matrice sam napisala obrnuto, F(u,v) bi trebala biti sa dva stupca i tri retka, kao u prvom stupcu derivacije po u, a u drugom po v. I onda ce ispast ovaj gore izraz. Malo sam se zabunila.

[alenand]

Sorry, i kod mene kolokvij tako da nisam baš mogao
Nadam se da si skužila - greška je relativno mala.

Znači zamijenila si samo koje je koje.
Diferencijal od phi treba biti 3*2, a kod tebe je naopak.
Znači, rezultantna matrica bi trebala biti 2*2, i tome uzmeš determinantu.

[room]

Dada skuzila sam, editala sam post gore odmah. Hvala svejedno