| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
HijenA
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol: 
Lokacija: Prazan skup ;-)
|
|
| [Vrh] |
|
Tonci
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 31. 10. 2002. (13:46:40)
Postovi: (61)16
Spol:
Lokacija: Split
|
|
| [Vrh] |
|
Tonci
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 31. 10. 2002. (13:46:40)
Postovi: (61)16
Spol:
Lokacija: Split
|
 Postano: 10:51 ned, 17. 4. 2005 Naslov: |
    |
|
|
Zaboravio sam sliku. Dakle, jezgra je jednodimenzionalna, pa je slika (n-1)-dimnzionalna po teoremu o rangu i defektu. Medjutim, ocito u slici moze biti polinom najvise (n-2)-stupnja. Naime, st(D(p))<st(p) se lako vidi raspisivanjem (vodeci clanovi se pokrate). Dakle, slika je potprostor prostora polinoma stupnja najvise n-2, a kako su im dimenzije iste, slika je upravo taj prostor.
Zaboravio sam sliku. Dakle, jezgra je jednodimenzionalna, pa je slika (n-1)-dimnzionalna po teoremu o rangu i defektu. Medjutim, ocito u slici moze biti polinom najvise (n-2)-stupnja. Naime, st(D(p))<st(p) se lako vidi raspisivanjem (vodeci clanovi se pokrate). Dakle, slika je potprostor prostora polinoma stupnja najvise n-2, a kako su im dimenzije iste, slika je upravo taj prostor.
|
|
| [Vrh] |
|
HijenA
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol:
Lokacija: Prazan skup ;-)
|
|
| [Vrh] |
|
HijenA
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol:
Lokacija: Prazan skup ;-)
|
| Postano: 11:32 ned, 17. 4. 2005 Naslov: Re: 2. zadatak - rok 7.2.2005 |
|
|
|
[quote="Tonci"]Dakle, postoji a takav da je p(t+a)=p(t), za sve realne t. To zapravo znaci da je a period polinoma p, a jedini periodicni polinomi su konstantni polinomi (gledamo npr. q(t)=p(t)-p(a) i taj ima prebrojivo mnogo nultocki pa je onda nul-polinom), sto znaci da je jezgra vektorski prostor svih konstatntnih polinoma.[/quote]
cek...znaci...ja sam dobio sljedece:
[latex]p(t+a)-p(t)=0[/latex]
po definiciji linearnog operatora [latex]A(x+y)=A(x)+A(y), \forall x,y \in V[/latex](naravno...ako uzmemo da su [latex]\alpha,\beta=1[/latex]).
[latex]p(t)+p(a)-p(t)=0[/latex]
[latex]p(a)=0[/latex]
dakle...p(a) je nulpolinom. zasto mozemo pretpostavit da je p(t) periodican, odnosno konstantan polinom? pa onda izvuc konstataciju da je i on nulpolinom? ne kuzim ovo zadnje.
| Tonci (napisa): | | Dakle, postoji a takav da je p(t+a)=p(t), za sve realne t. To zapravo znaci da je a period polinoma p, a jedini periodicni polinomi su konstantni polinomi (gledamo npr. q(t)=p(t)-p(a) i taj ima prebrojivo mnogo nultocki pa je onda nul-polinom), sto znaci da je jezgra vektorski prostor svih konstatntnih polinoma. |
cek...znaci...ja sam dobio sljedece:
po definiciji linearnog operatora  (naravno...ako uzmemo da su  ).
dakle...p(a) je nulpolinom. zasto mozemo pretpostavit da je p(t) periodican, odnosno konstantan polinom? pa onda izvuc konstataciju da je i on nulpolinom? ne kuzim ovo zadnje.
|
|
| [Vrh] |
|
HijenA
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol:
Lokacija: Prazan skup ;-)
|
|
| [Vrh] |
|
Tonci
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 31. 10. 2002. (13:46:40)
Postovi: (61)16
Spol:
Lokacija: Split
|
| Postano: 13:04 ned, 17. 4. 2005 Naslov: Re: 2. zadatak - rok 7.2.2005 |
|
|
|
[quote="HijenA"]
cek...znaci...ja sam dobio sljedece:
[latex]p(t+a)-p(t)=0[/latex]
[/quote]
Odavde slijedi da je p(t+a)=p(t) i to treba vrijediti za svaki t. [b]To[/b] znaci da je polinom p periodican, a jedini periodicni polinomi su konstante. Drukciji dokaz ovog ide ovako:
Opet isto, p(t+a)=p(t). Definirajmo polinom q na sljedeci nacin: q(t)=p(t)-p(a). Tada vrijedi q(a)=p(a)-p(a)=0. q(2a)=p(2a)-p(a)=p(a+a)-p(a)=(iz cinjenice da je p(t+a)=p(t))=p(a)-p(a)=0. Slicno q(3a)=q(4a)=...=0. To znaci da polinom q ima "previse" (prebrojivo mnogo) nultocki, a onda je on nul-polinom, tj q(t)=0, za svaki t. Onda je p(t)=p(a) za svaki t, tj p(t) poprima uvijek istu vrijednost (ta vrijednost je p(a)) pa je onda konstantni polinom.
Hope this helps...
| HijenA (napisa): |
cek...znaci...ja sam dobio sljedece:
|
Odavde slijedi da je p(t+a)=p(t) i to treba vrijediti za svaki t. To znaci da je polinom p periodican, a jedini periodicni polinomi su konstante. Drukciji dokaz ovog ide ovako:
Opet isto, p(t+a)=p(t). Definirajmo polinom q na sljedeci nacin: q(t)=p(t)-p(a). Tada vrijedi q(a)=p(a)-p(a)=0. q(2a)=p(2a)-p(a)=p(a+a)-p(a)=(iz cinjenice da je p(t+a)=p(t))=p(a)-p(a)=0. Slicno q(3a)=q(4a)=...=0. To znaci da polinom q ima "previse" (prebrojivo mnogo) nultocki, a onda je on nul-polinom, tj q(t)=0, za svaki t. Onda je p(t)=p(a) za svaki t, tj p(t) poprima uvijek istu vrijednost (ta vrijednost je p(a)) pa je onda konstantni polinom.
Hope this helps...
|
|
| [Vrh] |
|
HijenA
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol:
Lokacija: Prazan skup ;-)
|
| Postano: 13:36 ned, 17. 4. 2005 Naslov: Re: 2. zadatak - rok 7.2.2005 |
|
|
|
[quote="Tonci"][quote="HijenA"]
cek...znaci...ja sam dobio sljedece:
[latex]p(t+a)-p(t)=0[/latex]
[/quote]
Odavde slijedi da je p(t+a)=p(t) i to treba vrijediti za svaki t. [b]To[/b] znaci da je polinom p periodican, a jedini periodicni polinomi su konstante. Drukciji dokaz ovog ide ovako:
Opet isto, p(t+a)=p(t). Definirajmo polinom q na sljedeci nacin: q(t)=p(t)-p(a). Tada vrijedi q(a)=p(a)-p(a)=0. q(2a)=p(2a)-p(a)=p(a+a)-p(a)=(iz cinjenice da je p(t+a)=p(t))=p(a)-p(a)=0. Slicno q(3a)=q(4a)=...=0. To znaci da polinom q ima "previse" (prebrojivo mnogo) nultocki, a onda je on nul-polinom, tj q(t)=0, za svaki t. Onda je p(t)=p(a) za svaki t, tj p(t) poprima uvijek istu vrijednost (ta vrijednost je p(a)) pa je onda konstantni polinom.
Hope this helps...[/quote]
ok...shvatio sam (i think). moze jos ovo za sliku? kako znamo da slika ima dimenziju n-2 jer po teoremu o rangu i defektu dimenzija slike je n-1 posto je polinom p(t) sadrzan u slici operatora [latex]D_a[/latex]?
| Tonci (napisa): | | HijenA (napisa): |
cek...znaci...ja sam dobio sljedece:
|
Odavde slijedi da je p(t+a)=p(t) i to treba vrijediti za svaki t. To znaci da je polinom p periodican, a jedini periodicni polinomi su konstante. Drukciji dokaz ovog ide ovako:
Opet isto, p(t+a)=p(t). Definirajmo polinom q na sljedeci nacin: q(t)=p(t)-p(a). Tada vrijedi q(a)=p(a)-p(a)=0. q(2a)=p(2a)-p(a)=p(a+a)-p(a)=(iz cinjenice da je p(t+a)=p(t))=p(a)-p(a)=0. Slicno q(3a)=q(4a)=...=0. To znaci da polinom q ima "previse" (prebrojivo mnogo) nultocki, a onda je on nul-polinom, tj q(t)=0, za svaki t. Onda je p(t)=p(a) za svaki t, tj p(t) poprima uvijek istu vrijednost (ta vrijednost je p(a)) pa je onda konstantni polinom.
Hope this helps... |
ok...shvatio sam (i think). moze jos ovo za sliku? kako znamo da slika ima dimenziju n-2 jer po teoremu o rangu i defektu dimenzija slike je n-1 posto je polinom p(t) sadrzan u slici operatora  ?
|
|
| [Vrh] |
|
Tonci
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 31. 10. 2002. (13:46:40)
Postovi: (61)16
Spol:
Lokacija: Split
|
| Postano: 15:52 ned, 17. 4. 2005 Naslov: |
|
|
|
Dimenzija od P_n je n (iako su stupnja manjeg od n, tu su i oni stupnja nula). Dakle, dimenzija jezgre + dimenzija slike = n.
Vec smo vidjeli da je dimenzija jezgre 1, dakle, dimenzija slike je n-1.
Poslije dokazem da su slika svi polinomi stupnja najvise (n-2) ali to nije krivo jer je prostor svih tih polinoma (n-1)-dimenzionalan, opet zbog polinoma stupnja nula.
Dimenzija od P_n je n (iako su stupnja manjeg od n, tu su i oni stupnja nula). Dakle, dimenzija jezgre + dimenzija slike = n.
Vec smo vidjeli da je dimenzija jezgre 1, dakle, dimenzija slike je n-1.
Poslije dokazem da su slika svi polinomi stupnja najvise (n-2) ali to nije krivo jer je prostor svih tih polinoma (n-1)-dimenzionalan, opet zbog polinoma stupnja nula.
|
|
| [Vrh] |
|
|
).
vec polinom 