Zadatak

[Boris Davidovič]

Ovo bi trebalo biti lagano. Zadatak :

Pretpostavimo da matrice A i B iz M_n(R) komutiraju. Dokazati da je det(A^2+AB+B^2)>=0.

Jedina ideja koju imam je prijeći na operatore i iskoristiti teorem za abelove familije operatora iz čega bi i slijedio rezultat, međutim mi ne radimo s algebarski zatvorenim poljem. Eventualno neko nadopunjavanje do (razlike ?) kvadrata ili modula kompleksnog broja, no niti to mi nije uspjelo.

[vjekovac]

Nadopunimo do potpunog kvadrata pa faktoriziramo (nad C):

A^2+AB+B^2=
=(A+(1/2)B)^2+(3/4)B^2=
=(A+(1/2)B+(i(sqrt3)/2)B)(A+(1/2)B-(i(sqrt3)/2)B)

U gornjem računu se naravno koristi AB=BA.

Sada to napadnemo s det, iskoristimo Binet-Cauchyjev teorem i primijetimo da je det od druge zagrade jednaka konjugiranoj det od prve zagrade.
Dobit ćemo:

|det(A+((1+i*sqrt3)/2)B)|^2 >=0

[Boris Davidovič]

Zahvaljujem asistentu na odgovoru (sada me malo sram kad je tako lagan zadatak).

[vjekovac]

Pa čini se da i nije baš tako lagan. Na roku, ovom sad zadnjem (eh, da mi je zadnji...), nije ga nitko riješio. A na vježbama/starim rokovima je bilo sa A^2+B^2 umjesto A^2+AB+B^2. Valjda zbuni čovjeka to rastavljanje na faktore kad ima operatore umjesto brojeva.

[Boris Davidovič]

Još jedan zadatak s istog roka :

V kompleksni KDVP, A iz L(V) , te neka je \lijepo(A)={T^(-1)AT : T iz L(V) regularan}.

a) Dokazati da \lijepo(A) nije gust u L(V).
b) Je li \lijepo(A) uvijek zatvoren u L(V)?

Ovdje nemam nikakve konkretne ideje. Znam da bi se moglo ići na kotradikciju i npr. u a) naći opertor B i E>0 t.d za sve T regulaarne ||B-T^(-1)AT||>=E, a u b) bi se možda mogao naći niz regularnih operatora (A regularan => svi iz \lijepo(A) regularni) oblika T^(-1)AT koji konvergiraju k 0 iz L(V).

Hvala.

[vjekovac]

[Boris Davidovič]

Još samo ova dva i onda neću više(obećajem) :

1. Neka je (a_n) niz u hilbertovom prostoru H. Tada je ekvivalentno :
a) Za sve m iz N a_m nije u Cl([{a_n : n iz N, n!=m}])
b) Postoji niz (b_n) u H t.d za sve m,n iz N vrijedi (a_m|b_n)= 1 za m=n i 0 za m!=n.

2. V KDVP nad R i A iz L(V), te p(x) iz R[x] polinom bez realnih nultočaka s vodećim koeficijentom 1. Tada je det(p(A))>=0.

[vjekovac]

[vjekovac]

[goranm]

Prilično sam lijen ovih dana, pa bih zamolio nekoga za hint kako konstruirati linearni operator A na realnom konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru tako da vrijedi , ali da nije niti niti .

_________________
The Dude Abides

[Novi]

Npr.

_________________
Jedan je smjer očit, a drugi je trivijalan.

[kyra29]

zna li netko rijesit 5. zadatak s ovogodisnjeg kolokvija?

[**dreamer**]

evo ja cu pokusati...
minimalni polinom je jednak (x^100-1)^2=(x^50-1)(x^50+1)
iz toga slijedi x^50 je element od {-1,1}, odnosno x je element od {-i,i,-1,1} (jer se radi o kompleksnom prostoru), a to je upravo spektar od A

sin(aA^50+b) je nilpotentan akko mu je spektar jednak 0
<==> (po teoremu o preslikavanju spektra) sin(a*spektar(A)^50+b)=0
<==> sin(-a+b)=0 i sin(a+b)=0 <==> -a+b=k*pi, a+b=l*pi, k,l cijeli brojevi.
na kraju dobijes a=(k+l)*pi/2, b=(l-k)*pi/2

nadam se da se moze skuziti iz ovog rijesenje ako nije jasno pitaj

_________________
You may say that I’m dreamer but I’m not the only one

[kyra29]

thnx, ja sam rjesavala drugu grupu u kojoj je zadana x^200 i nemogu dobit nista osim cos(alfa + beta)=0, koju god svojstvenu vrijednost uvrstila dobijem samo ovo...

[**dreamer**]

vidi.. nisam ni skuzila da ima i druga grupa
ti si vjerojatno dobila da ti je spektar od A jednak {-1,1}, al spektar ti je {-i,i,-1,1} jer se radi o kompleksnom prostoru pa moras rastaviti na sve nultocke minimalnog polinoma, i realne i kompleksne.
Te nultocke dobijes na sljedeci nacin : (x^200-1)^2=(x^200-1)(x^200-1), a x^200-1=(x^100-1)(x^100-1)=(x^50-1)(x^50+1)(x^50-i)(x^50+i)=...
i kad bi tako do kraja rastavljala dobila bi da su ti nultocke -1,1,-i,i (odnosno da je to spektar od A).
Nadam se da je sad jasnije.

_________________
You may say that I’m dreamer but I’m not the only one

[kyra29]

meni nastane problem kad taj spektar, znači (1,-1,i,-i) uvrstavam u cos(aA^100+b), koju god svojstvenu vrijednost uvrstila dobijem isto...

[**dreamer**]

da.. sad sam skuzila... bas cudno... brijem da je zabunom zadan takav zadatak jer mi stvarno nije jasno kak bi se to moglo drukcije rijesiti.

_________________
You may say that I’m dreamer but I’m not the only one

[kyra29]

ja sam to imala na kolokviju, i nisam znala rijesit, pa pitam...
sad cu na popravni i ne bi voljela da mi opet nekaj takvo dodje...

[**dreamer**]

imam neku ideju, ali nemam blage koliko je to tocno i da li se to smije tako...
ako rastavimo x^200-1=(x^100-1)(x^100+1) da li onda mozemo reci da je spektar od A^100={-1,1}?
Ako mozemo onda kazemo da je spektar od cos(aA^100+b)=cos(a*spektar(A^100)+b)=0
i dobijemo cos(a+b)=0 i cos(-a+b)=0

_________________
You may say that I’m dreamer but I’m not the only one

[behemont]