| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
zzsan
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 11. 2005. (20:53:14)
Postovi: (89)16
|
 Postano: 19:11 pet, 3. 2. 2006 Naslov: Determinante n-tog reda |
    |
|
|
Iamam dva pitanja vezano uz determinante n-tog reda, odnosno ne znam ih baš riješiti pa ako bi mi se natko velikodušan smilovao i pomogao, objasnio..
1. a1+b1 b1 b1...............b1
b2 a2+b2 b2...............b2
b3 b3 a3+b3...........b3
. . . .
. . . .
. . . .
b[n-1] b[n-1] b[n-1]..........a[n]+b[n]
evo, ovako. došla sam do jednog dijela i onda više ne znam kak dalje. prvo kaj sam napravila sam zadnjem retku dodala i oduzela b[n] i onda sam to rastavila na dvije determinante. u prvoj determinanti sam iz zanjeg retka izlučila sve b[n]-ove i s tako dobivenim jedinicama u zadnjem retku poništila b-ove iz redaka gore tako da su mi na dijagonali ostali a1, a2, a3..., a u drugoj detreminanti sam dobila u zadnjem retku sve nule osim na zadnjem članu dijagonale na kojem sam dobila a[n]-b[n] i napravila Laplaceov razvoj po tom zadnjem retku... uglavnom, nakon svega toga dobivam da je b[n] * produkt od i=1 do n-1 od a[i] + (a[n]-b[n])*D[n-1]. i tu je trenutak kad sam stala. ne znam dio u kojem bi od D[n-1] dobila D[n].
2. i još jedna determinanta koju previše zapetljam i više se ne znam odpetljati...
1 a a^2..................a^n
b 1 a.....................a^n-1
b^2 b 1.....................a^n-2
. . . .
. . . .
. . . .
b^n b^n-1 b^n-2................1
Unaprijed zahvalna!! :thankyou:
Iamam dva pitanja vezano uz determinante n-tog reda, odnosno ne znam ih baš riješiti pa ako bi mi se natko velikodušan smilovao i pomogao, objasnio..
1. a1+b1 b1 b1...............b1
b2 a2+b2 b2...............b2
b3 b3 a3+b3...........b3
. . . .
. . . .
. . . .
b[n-1] b[n-1] b[n-1]..........a[n]+b[n]
evo, ovako. došla sam do jednog dijela i onda više ne znam kak dalje. prvo kaj sam napravila sam zadnjem retku dodala i oduzela b[n] i onda sam to rastavila na dvije determinante. u prvoj determinanti sam iz zanjeg retka izlučila sve b[n]-ove i s tako dobivenim jedinicama u zadnjem retku poništila b-ove iz redaka gore tako da su mi na dijagonali ostali a1, a2, a3..., a u drugoj detreminanti sam dobila u zadnjem retku sve nule osim na zadnjem članu dijagonale na kojem sam dobila a[n]-b[n] i napravila Laplaceov razvoj po tom zadnjem retku... uglavnom, nakon svega toga dobivam da je b[n] * produkt od i=1 do n-1 od a[i] + (a[n]-b[n])*D[n-1]. i tu je trenutak kad sam stala. ne znam dio u kojem bi od D[n-1] dobila D[n].
2. i još jedna determinanta koju previše zapetljam i više se ne znam odpetljati...
1 a a^2..................a^n
b 1 a.....................a^n-1
b^2 b 1.....................a^n-2
. . . .
. . . .
. . . .
b^n b^n-1 b^n-2................1
Unaprijed zahvalna!! 
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 21:09 pet, 3. 2. 2006 Naslov: |
|
|
|
1. Prvom stupcu oduzmeš drugi, drugom treći, ... Laplasaš po zadnjem stupcu i onda kada raspisuješ n matrica za prvu laplasaš po prvom stupcu, drugu po drugom, ... Sigurno može i jednostavnije, al mi se neda razbijat glavu...
2. drug stupac pomožen sa -b dodaš prvom, treći pomnožen sa -b drugom,... Dobiš donje trokutastu matrica, pa je determinanta (1-ab)^(n-1)
1. Prvom stupcu oduzmeš drugi, drugom treći, ... Laplasaš po zadnjem stupcu i onda kada raspisuješ n matrica za prvu laplasaš po prvom stupcu, drugu po drugom, ... Sigurno može i jednostavnije, al mi se neda razbijat glavu...
2. drug stupac pomožen sa -b dodaš prvom, treći pomnožen sa -b drugom,... Dobiš donje trokutastu matrica, pa je determinanta (1-ab)^(n-1)
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol: 
|
| Postano: 21:20 pet, 3. 2. 2006 Naslov: |
|
|
|
Nesto ti ne stima sa zadnjim redom, valjda si mislila na ovo:
[latex]\left| \begin{array}{c c c c c}
a_1 + b_1 & b_1 & \dots & b_1 & b_1 \\
b_2 & a_2 + b_2 & \dots & b_2 & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
b_{n - 1} & b_{n -1} & \dots & b_{n - 1} + a_{n - 1}& b_{n - 1} \\
b_n & b_n & \dots & b_n & b_n + a_n\\
\end{array} \right| [/latex]
Ja bih prvo svakom stupcu oduzeo zadnji, pa dobijes:
[latex]\left| \begin{array}{c c c c c}
a_1 & 0 & \dots & 0 & b_1 \\
0 & a_2 & \dots & 0 & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & a_{n - 1}& b_{n - 1} \\
-a_n & -a_n & \dots & -a_n & b_n + a_n\\ \end{array} \right|[/latex]
Razvijes po zadnjem retku (malo si raspisi, vidjet ces da svaki put kad maknes i-ti stupac i n-ti redak dobijes determinantu matrice kou uz pomoc n - i - 1 zamjena redaka - tako da i-ti redak postane n-1-vi a medusobni poredak ostalih ostane nepromijenjen - svedes na gornjetrokutast oblik):
[latex]\displaystyle \sum_{i = 1}^{n-1}(-1)^{n +1 -i}-a_n(-1)^{n - i - 1} \frac{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot b_i}{a_i} + (b_n + a_n) \cdot a_1 a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} [/latex]
zbrojis eksponente od -1 i dobijes:
[latex]\displaystyle -a_n \sum_{i = 1}^{n-1} \frac{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot b_i}{a_i} + (b_n + a_n) \cdot a_1 a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} [/latex]
Hm, nije bas bilo najproduktivnije - em me netko prestiga, em ne bihh znao ovo rjesenje ljepse zapisat, am nisam drugi zadatak rijesio (a jos nisam ni siguran jesam li u racunu fulao :P). Nadam se da bar malo pomaze :)
Edit - Ovako ljepse izgleda:
[latex]\displaystyle -a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n \cdot \left( \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{b_i}{a_i} -1 - \frac{b_n}{a_n} \right)[/latex]
Nesto ti ne stima sa zadnjim redom, valjda si mislila na ovo:
Ja bih prvo svakom stupcu oduzeo zadnji, pa dobijes:
Razvijes po zadnjem retku (malo si raspisi, vidjet ces da svaki put kad maknes i-ti stupac i n-ti redak dobijes determinantu matrice kou uz pomoc n - i - 1 zamjena redaka - tako da i-ti redak postane n-1-vi a medusobni poredak ostalih ostane nepromijenjen - svedes na gornjetrokutast oblik):
zbrojis eksponente od -1 i dobijes:
Hm, nije bas bilo najproduktivnije - em me netko prestiga, em ne bihh znao ovo rjesenje ljepse zapisat, am nisam drugi zadatak rijesio (a jos nisam ni siguran jesam li u racunu fulao  ). Nadam se da bar malo pomaze 
Edit - Ovako ljepse izgleda:
_________________
Bri
|
|
| [Vrh] |
|
zzsan
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 11. 2005. (20:53:14)
Postovi: (89)16
|
|
| [Vrh] |
|
Geliriell
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2005. (14:48:40)
Postovi: (84)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
fenchurch
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 05. 2005. (19:20:53)
Postovi: (1C)16
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
|
