Malo (ne)potrebnog filozofiranja o izjavama iliti sudovima

[Silver Surfer]

Naslov donekle opisuje o čemu ću pisati. Odmah molim one, kojima će se ovo činiti kao nepotrebno cjepidlačenje i mlaćenje prazne slame, neka mi ne zamjere zbog toga. Naime, imam nekoliko nedoumica što se tiču izjava (sudova) u matematičkoj logici, ali i općenito matematičkih definicija.

Krećem od "definicije" (možda je to više izjava, he he, mala igra riječi) izjave ili suda iz knjige "Elementarna matematika 1" koja kaže, citiram 'Izjava ili sud je smislena rečenica koja može biti istinita ili lažna (neistinita).' Je li smisao te rečenice 'Izjava je smislena rečenica.', a ona pak može biti istinita ili lažna? Ili to znači da je izjava svaka smislena rečenica koja je istinita ili lažna, tj. da je ta istinitost u stvari određuje? Najvjerojatnije (99.9%) je da je ovo drugo. Međutim, dalje kaže 'Od izjava možemo tvoriti nove složene izjave povezujući polazne izjave veznicima, odnosno negirajući ih.' Dalje "definira" (stavljam navodnike jer nigdje ne piše da je to definicija nego se samo navodi) 'Konjunkcija A&B dvaju izjava A i B je složena izjava nastala povezivanjem izjava A, B veznikom i za koji se upotrebljava simbol &. (…) Izjava A&B je po definiciji točna ako su izjave A, B istinite.', ali 'Disjunkcija AB dviju izjava A, B je složena izjava koja je lažna točno onda ako su obje izjave A, B lažne.'. Implikacija i ekvivalencija su definirane na isti način kao disjunkcija. Koje je sad ispravno? Mislim, jesu li te izjave definirane preko povezivanja dviju izjava veznicima ili preko istinitosti? Međutim opet, kad bi bile definirane preko istinitosti, otkud nam te dvije izjave koje se spominju ako ih prethodno nismo povezali veznikom ili nešto drugo s njima napravili? A ako možemo odrediti istinitost složenih izjava, to znači da su i one izjave. Znači li to da se tu može govoriti i o nekoj grupi izjava ili nečemu takvom?
Još da malo dotaknem i ovo o negiranju izjava. Kad imamo neku izjavu i negiramo negaciju te izjave, jesu li te izjave iste ili samo imaju iste vrijednosti istinitosti ili je to u stvari isto?

Uglavnom, nije mi jasno otkud takva nepreciznost i nonšalancija u matematičkim knjigama? Mislim, ovo je nevažan primjer i ne utječe puno, ali i mnoge važnije stvari su tako napisane. Ne razumijem, kako to da u matematici ne postoje točne definicije i teoremi kojih bi se svi pridržavali? Ako bi nešto trebalo biti uređeno, to je matematika.

P.S. Znam da svi imaju pametnijeg posla, nego čitati ovakve tekstove, ali ipak…

[vsego]

[Silver Surfer]

Znam, naravno da neke pojmove ne možeš definirati. Međutim, svatko intuitivno zna što je skup, ali ne zna što je konjunkcija. Nije li to nešto kao odnos aksioma i teorema?

[vsego]

[Silver Surfer]

Da, konjunkcija je dobra, ali zašto je disjunkcija drugačije napisana?

[vsego]

Kako drugacije?

[Silver Surfer]

Žao mi je za znak

Pa samo je rečeno za istinitost, a nije rečeno da je nastala povezivanjem izjava veznikom ili, recimo. Je li svaka izjava koja je lazna kada su i A i B lažne isto disjunkcija?

[vsego]

[Silver Surfer]

Dobro, ako gledamo da nije toliko bitno i ako svi razumiju taj znak onda možemo reći da je u redu. Jedino ne razumijem ovo o obliku disjunkcije. Ili je disjunkcija ili nije, kaj ne? Ovo bi bila izjava koja je nastala negiranjem konjunkcije, ali pošto imaju iste vrijednosti istinitosti ona bi po knjizi bila disjunkcija.

[vsego]

Ne, jer nije oblika (dakle "A znak_operatora B"). Sjeti se normalnih formi sa UuRa - tocno se zna kako moraju izgledati; sve ostalo spada pod "sredjivanje" izraza.

Ako ti napises "A + B" je laz ako i samo ako su i A i B laz, onda to JE disjunkcija, samo sto si odabrao drugi simbol za nju. Slucajno, "+" se i inace koristi za disjunkciju, no mogao si staviti kakav god simbol...

Ono gore nije disjunkcija nego negacija konjukcije negacija izjava A i B.

Recimo, dva "medvjeda" (kovanice od 5kn) imaju istu vrijednost kao novcanica od 10kn, ali dvije kovanice od 5kn nisu novcanica od 10kn. Jasnije?

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Silver Surfer]

Ti si napokon uspio lijepo objasniti ono što ja cijelo vrijeme pokušavam! Naime, trebalo bi pisati da je disjunkcija dvije izjave povezane veznikom, koja je lažna kad su dvije izjave lažne, a ne samo izjava koja je lažna kad su te dvije izjave lažne.

[vsego]

Pa, to pise simbolicki. Ok, ne pise rijecima kako si ti naveo, ali imas simboliku: A znak_disjunkcije B.

U definiciji derivacije imas f'(x) gdje je f nekakva funkcija. Ako ja napisem negdje "f(x')" tebi nece pasti na pamet da je to derivacija, iako imas i f i znak koji se pojavljuje u definiciji derivacije ' i varijablu x. Zasto? Jednostavno zato jer nisu slozeni na nacin na koji to pise u definiciji: f'(x).

Ista stvar je i ovdje: ako nije oblika A operator B, nije disjunkcija jer tako pise u definiciji. Da moze biti bilo kojeg oblika, pisalo bi "izjava koja sadrzi samo izjave A i B i logicke operatore".

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Silver Surfer]

Znači, želiš reći da se konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija razlikuju samo po tablicama istinitosti jer su sve oblika A operator B? Je li to znači da to nema veze sa jezičnim oblikom, A i B, A ili B, ako A onda B,...? To je kao da si lakše predočimo, ili tako nešto?

[vsego]

[Silver Surfer]

Zanimljivo. Razmislit ću malo o tome, pa ću se opet javiti, neće to stati samo na ovome.

Ali ono o definicijama i dalje stoji. Zašto ne bi mogle biti definicije koje bi svi u svojim knjigama koristili? Kad kažeš konjunkcija misli se točno na to i to, kad kažeš niz misli se na točno to i to, itd.

[krcko]

Niz je prilicno standardan pojam, nisam primijetio puno varijacija (OK kad dodjes do Laurentovih redova domena ce postati Z umjesto N, ali to je sitnica). Za konjukciju itd. u ozbiljnim knjigama neces naci definiciju nego samo aksiome. To je u logici nedefiniran pojam, isto kao unija i presjek u teoriji skupova. Na Elementarnoj glumimo definicije - to se zove naivna teorija skupova, odn. logika. Te "definicije" su zapravo objasnjenja mahanjem rukama, pa ih je malo teze standardizirati.

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[Silver Surfer]

Evo mene opet! Naime, sad kad sam ponovno pročitao sve što smo napisali, sve mi je puno jasnije. Zbog toga zahvaljujem vsegi i krcku na objašnjenjima. I mislim da bi to sve trebalo pisati u knjizi da ljudima bude jasnije, jer iz onih par rečenica se to ne da vidjeti.

Međutim, ne bih ja bio Silver Surfer kad mi nešto ne bi bilo jasno.

Prvo, ne razumijem zašto kod onoga "Izjava A&B je po definiciji točna ako (i zašto u ovakvim stvarima ne piše ako i amo ako?) su izjave A, B istinite." piše točna, a ne istinita kad se cijelo vrijeme koristi istinita i lažna. Netko bi možda za "točna" mogao pomisliti u smislu ispravno oblikovana konjunkcija.
Drugo, mislim da definicija, recimo, konjunkcije nije dobra kao "AoperatorB i njezina tablica istinitosti", a da to slučajno čitamo A i B, jer na primjer izjava "Pada kiša i dan je." je stvarno istinita baš kada i pada kiša i dan je. Znači li to da operator može biti bilo koji znak, ali konjunkciju uvijek moramo čitati A i B i taj operator označava veznik "i"? Malo sam zakomplicirao i vrtim se u krug, ali nadam se da se vidi što mi točno nije jasno.

[vsego]

[Silver Surfer]

E, ali za "broj je paran ako je djeljiv s 2" ne treba akko, ali za ovo treba jer ne znači li da ako je A&B istinita da su i A i B istinite?

Ali AND na hrvatskom znači i, pa je to opet i. MAtematika ne robuje jednom od jezika, nego općenito jeziku. To jest, nije baš da robuje, nego jezik čini matematiku, jer kad kažem "broj je paran" to je jezik, svjedno koji. Nije li tako?
Što se tiče ping-ponga, mislim da bi se moglo tako reći, ali onda mi opet nije jasna uloga jezika u matematici.

[krcko]