Geometrijsko znacenje preslikavanja (zadatak)

[Gost]

Imam pitanje vezano uz 2.a) zadatak iz 1.zadaće. Dakle, zadatak glasi: KOJE JE GEOMETRIJSKO ZNAČENJE PRESLIKAVANJA T(v1i+v2j)= 1/2(v1-v2)i - 1/2(v1-v2)j ?? (UPUTA:UVEDITE VEKTOR a=1/2i - 1/2j I ISKAŽITE PRESLIKAVANJE KORISTEĆI TAJ VEKTOR).

Ja sam uvrštavala taj vektor a i kao rezultat sam opet dobila vektor a, i onda sam došla do zaključka da je to jedinični linearni operator. I to je krivo jer rješenje je: ortogonalna projekcija!!! Gdje sam pogrješila?
Može mala pomoć???[/list][/quote][/code]

[Juraj Šiftar]

Istina je da taj linearni operator preslikava vektor a u samog sebe,
ali to nije dovoljno da se zaključi da je to jedinični operator. Treba
pogledati kako operator djeluje na još jedan vektor koji zajedno s a
čini bazu, najbolje vektor koji je ortogonalan na a. Ako se taj vektor
preslikava u nulvektor, onda je riječ o ortogonalnoj projekciji na smjer
vektora a.
Pouka: Linearni operator je potpuno određen svojim djelovanjem na bazu
(a nije određen djelovanjem na podskup baze!)

[Gost]

A ja se već zabrinula da svi spavaju i da nitko neće odgovoriti... Hvala profesore!!!!Sad mi je jasno.

[Gost]

I još samo jedno pitanje. Da li je nešto monomorfizam u zadacima provjeravamo pomoću punog/nepunog ranga, izomorfizam pomoću determinante, a kako provjeravamo da li je nešto epimorfizam?

[Juraj Šiftar]

Jedna mogućnost je baš pomoću punog ranga, ako je to "nešto" linearni operator. Naime, epimorfizam, dakle surjektivnost, upravo znači da je
slika jednaka cijelom prostoru kodomene, što je ekvivalentno jednakosti ranga operatora i dimenzije prostora kodomene. (Govorimo, naravno, o konačnodimenzionalnim prostorima).
Monomorfizam - defekt 0 tj. rang je puni, OK.
A izomorfizam - determinanta?
Pa, ovisi o zadatku. Istina je da se kod dva prostora jednake dimenzije ispitivanje može svesti na izračunavanje determinante (koja je različita od 0 za regularni operator tj. izomorfizam) ali to neće uvijek biti nužno. Izomorfizam je monomorfizam i epimorfizam, pa je korisno imati u vidu korolar teorema o rangu i defektu da su mono-, epi- i izomorfizam ekvivalentni ako su domena i kodomena prostori jednake dimenzije.