Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Tri zadatka (zadatak)

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> (Elementarna) teorija brojeva
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Gost






PostPostano: 22:32 sri, 9. 5. 2007    Naslov: Tri zadatka Citirajte i odgovorite

1) Odrediti sve proste brojeve p takve da je 14 kvadratni ostatak modulo p. Za koje proste brojeve p vrijedi da 4 nije kvadratni ostatak modulo p?

2) Odrediti najmanji prirodan broj n, n>2000 takav da je izraz
X1^4 + X2^4 + ... + Xn^4 / 5
prirodan broj, za svaki izbor cijelih brojeva X1,X2,...,Xn od kojih niti jedan nije djeljiv s 5.

3) Neka su x,y,z cijeli brojevi takvi da 7|x^3 + y^3 + z^3. Dokazite da 7|xyz.
1) Odrediti sve proste brojeve p takve da je 14 kvadratni ostatak modulo p. Za koje proste brojeve p vrijedi da 4 nije kvadratni ostatak modulo p?

2) Odrediti najmanji prirodan broj n, n>2000 takav da je izraz
X1^4 + X2^4 + ... + Xn^4 / 5
prirodan broj, za svaki izbor cijelih brojeva X1,X2,...,Xn od kojih niti jedan nije djeljiv s 5.

3) Neka su x,y,z cijeli brojevi takvi da 7|x^3 + y^3 + z^3. Dokazite da 7|xyz.


[Vrh]
saskvač
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 06. 12. 2006. (22:05:44)
Postovi: (6)16
Sarma = la pohva - posuda
= 1 - 0
Lokacija: Odjel za matematiku, OS

PostPostano: 7:12 čet, 10. 5. 2007    Naslov: Citirajte i odgovorite

ooo kolega/ica :D
i ja sam se ubijao s tim...
2)
a^4==1(mod 5), jer je fi(5)=4.
znaci svi iksevi na cetvrtu je kongruentno 1
pa imas x1^4+...+xn^4==1+1+1+...+1==n (mod 5)
znaci n mora biti djeljiv s 5 pa je n=2005
3)
iz a^6==1(mod 7) slijedi (a^3)^2==1(mod 7)
pa a^3==+1 ili -1(mod 7) ili 0 ako 7|a^3 tj 7|a
buduci da je x^3+y^3+z^3==0(mod 7) barem jedan od x, y, z je djeljiv sa sedam
pa je xyz==0(mod 7)
ooo kolega/ica Very Happy
i ja sam se ubijao s tim...
2)
a^4==1(mod 5), jer je fi(5)=4.
znaci svi iksevi na cetvrtu je kongruentno 1
pa imas x1^4+...+xn^4==1+1+1+...+1==n (mod 5)
znaci n mora biti djeljiv s 5 pa je n=2005
3)
iz a^6==1(mod 7) slijedi (a^3)^2==1(mod 7)
pa a^3==+1 ili -1(mod 7) ili 0 ako 7|a^3 tj 7|a
buduci da je x^3+y^3+z^3==0(mod 7) barem jedan od x, y, z je djeljiv sa sedam
pa je xyz==0(mod 7)



_________________
Ne ide mi.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vinko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 08. 2006. (23:08:00)
Postovi: (1A8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
69 = 87 - 18
Lokacija: PMF-MO 214

PostPostano: 10:11 čet, 10. 5. 2007    Naslov: Re: Tri zadatka Citirajte i odgovorite

[quote="Anonymous"]1) Odrediti sve proste brojeve p takve da je 14 kvadratni ostatak modulo p.
[/quote]
Prvo gledamo (14/p)=(2/p)(7/p)
(2/p)=1 za p oblika 8k+-1
(7/p)=(p/7) za p oblika 4k+1, -(p/7) za p obluka 4k+3
(p/7)=1 za p oblika 7k+1, 7k+4 i 7k+2
Umnožak ta tri uvjeta mi treba dati jedan.

Lakše mi je spojiti prva 2 uvjeta, pa dobijem 1 za 8k+1 i 8k+3, a -1 za 8k+5 i 8k+7
Kada to spojim s trećim uvjetom dobijem:
56k+1, 56k+9, 56k+25, 56k+11, 56k+43, 56k+51
56k+5, 56k+13, 56k+45, 56k+31, 56k+47, 56k+55

Dakle, rješenje je:
56k+1,5,9,11,13,25,31,43,45,47,51,55
ili drugačije zapisano (budući je ovdje -1 kvadrat) 56k+-1, +-5, +-9, +-11, +-13, +-25
[quote="Anonymous"]
Za koje proste brojeve p vrijedi da 4 nije kvadratni ostatak modulo p?
[/quote]
Eventualno za 2, ako tako shvatimo definiciju. A za ostale vidimo da jednadžba x^2=4(mod p) ima rješenje x=2.
Anonymous (napisa):
1) Odrediti sve proste brojeve p takve da je 14 kvadratni ostatak modulo p.

Prvo gledamo (14/p)=(2/p)(7/p)
(2/p)=1 za p oblika 8k+-1
(7/p)=(p/7) za p oblika 4k+1, -(p/7) za p obluka 4k+3
(p/7)=1 za p oblika 7k+1, 7k+4 i 7k+2
Umnožak ta tri uvjeta mi treba dati jedan.

Lakše mi je spojiti prva 2 uvjeta, pa dobijem 1 za 8k+1 i 8k+3, a -1 za 8k+5 i 8k+7
Kada to spojim s trećim uvjetom dobijem:
56k+1, 56k+9, 56k+25, 56k+11, 56k+43, 56k+51
56k+5, 56k+13, 56k+45, 56k+31, 56k+47, 56k+55

Dakle, rješenje je:
56k+1,5,9,11,13,25,31,43,45,47,51,55
ili drugačije zapisano (budući je ovdje -1 kvadrat) 56k+-1, +-5, +-9, +-11, +-13, +-25
Anonymous (napisa):

Za koje proste brojeve p vrijedi da 4 nije kvadratni ostatak modulo p?

Eventualno za 2, ako tako shvatimo definiciju. A za ostale vidimo da jednadžba x^2=4(mod p) ima rješenje x=2.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Gost






PostPostano: 20:28 čet, 27. 3. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite

Kako dokazati da vrijedi(fm,fn)=! za m razlicito od n gdje su fm i fn Fermatovi brojevi
Kako dokazati da vrijedi(fm,fn)=! za m razlicito od n gdje su fm i fn Fermatovi brojevi


[Vrh]
duje
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
338 = 339 - 1

PostPostano: 6:37 pet, 28. 3. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote]Kako dokazati da vrijedi(f_m,f_n)=1 za m razlicito od n gdje su f_m i f_n Fermatovi brojevi[/quote]
Recimo da je n>m. Vrijedi:
f_n-2=2^2^n-1=(2^2^(n-1)+1)(2^2^(n-1)-1)=f_{n-1}*(f_{n-1}-2)=...=f_{n-1}*f_{n-2}*...*f_1*f_0.
Ako prirodan broj d dijeli f_n i f_m, onda d dijeli i produkt f_{n-1}*f_{n-2}*...*f_1*f_0 (jer je f_m jedan od faktora u tom produktu). No, onda d dijeli i razliku broja f_n i tog produkta, a to je broj 2. Buduci da je d neparan (jer je f_n neparan) i dijeli 2, d mora biti jednak 1.
Citat:
Kako dokazati da vrijedi(f_m,f_n)=1 za m razlicito od n gdje su f_m i f_n Fermatovi brojevi

Recimo da je n>m. Vrijedi:
f_n-2=2^2^n-1=(2^2^(n-1)+1)(2^2^(n-1)-1)=f_{n-1}*(f_{n-1}-2)=...=f_{n-1}*f_{n-2}*...*f_1*f_0.
Ako prirodan broj d dijeli f_n i f_m, onda d dijeli i produkt f_{n-1}*f_{n-2}*...*f_1*f_0 (jer je f_m jedan od faktora u tom produktu). No, onda d dijeli i razliku broja f_n i tog produkta, a to je broj 2. Buduci da je d neparan (jer je f_n neparan) i dijeli 2, d mora biti jednak 1.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> (Elementarna) teorija brojeva Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan