Kad je ispit iz integrala i mjere

[Braslav]

za one koji su kolokvirali?

[c_l]

na prvom roku u sri 27.6. ako se ne varam.. ne znam u kolko je sati..

[Mr.Doe]

sta su dosli rezultati ?

[vili]

Profesor je rekao 27.06. u 17:30.

[c_l]

[vili]

Pričalo se kao da će biti i neka skripta. Navodno je neki dobri student nesebično izrađuje

[c_l]

da, braslav ju je napravio i velikodusno stavio na forum al ces ju morat sam potrazit jer zaboravih di je tocno..

[Mr.Doe]

http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=9675

[LSSD]

Da li netko zna primjer skupa koji nije Borel izmjeriv, a jeste Lebesgue izmjeriv?

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[Braslav]

Na internetu sam nasao jedan primjer koji se temelji na zapisu realanog broja u verizni razlomak, ali bez dokaza. Dokaz da takav postoji je puno laksi od konstrukcije ide ovako Borelovih skupova ima kontunuum, a Lebesgovih ima 2^kontunuum.

Dokaz
Cantorov skup je neprebrojiv i Lebesgov pa su i svi njegovi postskupovi Lebesgouvi jer je Lebesgova mjera potpuna pa ih ima 2^kontunuum, a buduci da Lebesgovih skupova ima najvise 2^kontinuum sto je kardinalni broj od partitivnog skupa skupa realnih brojeva vidimo da Lebesgovih skupova ima 2^kontunuum.

S druge strane napravimo ovakvu konstrukciju Borelovih skupova: prvo uzmimo samo otvorene intervale I1 ima ih kontunuum pa napravimo sve prebrojive ili konacne unije otvorenih intervala I2 tih ima kontunuum^alef0=kontunuum zatim uzmimo razlike svaka dva elementa iz I2 tako dobimo I3, sada opet uzmemo sve prebrojive ili konacne unije elemenata iz I3, pa dobijemo I4,... u svakom koraku povecamo skup ali kardinalnost ostaje kontunuum tim postupkom ocito dobijemo sve Borelove skupove. kojih onda ime manje nego kontinuum^alef0=kontunuum.

Pa sigurno postoji skup koji je Lebegov, a nje Borelov.

[LSSD]

Ti si sada dokazao da postoji takav skup, ali medju pitanjima koje nam je profesor dao trazi se da skiciramo takav skup. Da li znas konstruirati neki?

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[Braslav]

Znam, ali ne znam dokaz da je Lebesguov, a nije Borelov evo ovo sam nasao na internetu...

Promatras skup svih x takvih da je


gdje za prirodne brojeve

imamo da dijeli za sve

Lusin je 1927 pokazao da je taj skup Lebesgue izmjeriv, a nije Borelov. Pa ako ti to nesto znaci...

[LSSD]

Hvala:)) Sada me zanima na listi pitanja koje nam je profesor dao, da li je pitanje broj 5 dobro postavljeno? Mi smo radili konstrukciju kada smo imali sigma aditivnu funkciju na prstenu, pa smo je prosirili do sigma aditivne na algebri, a u pitanjima stoji konacno aditivna?

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[vili]

Ja sam isto razmišljao o tom 5. pitanju, ali mene nešto drugo muči. Mislim da smo definirali vanjsku mjeru kada smo imali sigma-aditivnu funkciju na algebri, a ne na prstenu. Kako općenito s prstena proširiti na algebru?

[Braslav]

Umjesto prstena trebala bi biti algebra jer u suprotnom ne mozemo uvijek naci pokrivac svakog skupa, u nasem slucaju (prsten svih konacnih unija poluotvornih intervala) mi to mozemo, ali u opcenitom slucaju ne mozemo s prebrojivo elemenata prstena pokriti svaki skup dakle ne mozemo u opcenitom slucaju definirati vanjsku mjeru kada imamo samo posla s prstenom.

U definiciji vanjske mjere nista se ne mijenja ako umijesto svojstva sigma aditivnosti na algebri imamo samo konacnu aditivnost.

Prijelaz s prstena na algebru je jednostavan jer najmanja algebra koja sadrzi prsten R je skup svih skupova A takvih da je A ili A^c element iz R.

[LSSD]

U tom pitanju definicija vanjske mjere se odnosi na sto?na onu definiciju koju smo mi uveli kao konstrukciju koja koristi inf..., ili na alternativnu.A onda se ova konstrukcija odnosi na prvu definiciju sa infimumom suma?

Isto tako u pitanju 14. ima greska. nije istina da je svaka Riemann integrabilna funkcija Lebesgue integrabilna(protuprimjer na vjezbama), to vrijedi samo za nenegativne funkcije.

Jos pitanja:
Za mjeru kazemo da je potpuna ako je pripadni prostor s mjerom potpun?
U pitanju 4. misli se na RxRxR...xR(d puta)?
Pitanje 25: u definiciji ndostaje inf ispred zagrada?
U pitanju 24. prsten elementarnih skupova E=skup svih konacnih unija skupova iz P?
Primjer mjere koja nije sigma konacna?

Unaprijed hvala:)

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[LSSD]

I jos par stvari :
zar ne bi u zad 23. trebalo pretpostaviti da je C npr. poluprsten?
Zad 25.:R je algebra, a ne prsten? i ona suma u zagradama je beskonacna?

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[vili]

14. pitanje: Istina. A kako se dokaže za nenegativne?

[LSSD]

Zadovoljavajuca svojstva su invarijantnost na translaciju i da je mjera intervala zapravo njegova duljina. To je vezano za odgovor u pitanju 3.

Ja sam isto taj primjer za sigma konacnu mjeru uzela, ali zar on nije trivijalan? U pitanju je receno netrivijalan:)

Zad 25:mislim da je mislio na ona svojstva vanjske mjere zapravo, tj ona tri iz alternativne definicije.

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[Mr.Doe]

. def. je sa
, ako , inace .
Moze se pokazati da je mjera ,no nije konacna.

(mozete primjetiti da sam "malo" modificirao jedan od zadataka sa kolokvija , takoder postoji mogucnost da sam "bubnuo" glupost ,buduci da sada ne ucim integral i mjeru, te unaprijed uvazite moje isprike )

Edit:
Takoder je nepotrebno, definirati je na R (potez) ,buduci da je ocito nenegativna