Polinomi (zadatak)

[anam]

Zadatak ide ovako: Odredite ostatk pri dijeljenju polinoma
f(x)= x^600 - 60x^60 - 16x^16 + 66x
polinomom g(x)=x^2(x-1)

dakle ostatak mi je stupnja <=2,i r(x) mi je oblika ax^2 + bx + c, i kada uvrstim x=1 i x=0, dobijem da mi je c=0 i b= -a-9, e sad meni nije jasno jel mi taj ostatak oblika r(x)=ax - (a+9) ili r(x)= ax^2 - (a+9)x?
ako bi se nekome dalo sam da mi to pojasni

[Undómiel]

Uvrsti i f(-1) pa probaj riješiti!

_________________
Elen sila lumenn omentilmo

[Undómiel]

Evo ja sam uvrstila i f(-1) i ispadne mi b=66, a=-75 ako sam dobro uvrstila sve...

_________________
Elen sila lumenn omentilmo

[anam]

A zašto -1, mi smo uvrštavali one brojeve koji će nam poništiti g(x)*q(x) a to su nultočke od g koje su nam sad jedino poznate, dakle 1 i 0, ako uvrstim -1 niš mi se ne poništava, tj ostaje i ovaj q(x) koji je totalna smetnja da bi se dobili a i b

[Undómiel]

Da, da, u pravu si, moja greška, krivo sam zadatak vidjela.. Jups..

_________________
Elen sila lumenn omentilmo

[k8yvis]

Traženi ostatak je polinom drugog stupnja, ax^2 + bx + c, pa vrijedi

(1) f(x) = x^2(x - 1)q(x) + ax^2 + bx + c; za svaki x iz R

za neki polinom q. Uvrštavanjem x = 0 dobije se c = 0, a uvrštavanjem x = 1 dobivamo a + b + c = -9. Deriviranjem jednakosti (1) dobivamo

f'(x) = (3x^2 - 2x) q(x) + x^2(x - 1) q'(x) + 2ax + b; za svaki x iz R

Vrijedi f'(x) = 600x^599 - 3600x^59 - 256x^15 + 66, pa uvrštavanjem x = 0 dobivamo treću jednakost b = 66.
Rješavanjem dobivenog sustava nalazimo a = -75, b = 66, c = 0, pa je traženi ostatak jednak -75x^2 + 66x.
Još pregledaj, ovo ti je nabrzaka...

_________________
Da li je napredak kad ljudozder uzme vilicu?

[Undómiel]

Hehe, ja sam krivim prepisivanjem dobila jednako rješenje.
Ovo je, i ja mislim, točno.

_________________
Elen sila lumenn omentilmo

[punio4]

Evo sad i ja baš gledam jedan riješeni primjer iz skripte Pavković/Veljan.
Također se traži ostatak pri djeljenju polinoma.


, dakle


Nađemo nultočke od , koje ispadnu
E sad veli "Dobili smo sustav jednadžbi:"



Ok, jasni su mi izrazi sa desne strane, to je .
No što je ovo sa lijeve strane?
U prvom slučaju je to
A u drugom samo
Zašto je to tako?

[ma]

[anam]

Jel može neki hint za ovaj zadatak ak itko zna
dokažite da polinom p iz Z[x] koji popima vrijednost 1 za 3 različita broja ne može imati cjelobrojnu nultočku

[punio4]

[k8yvis]

Evo hint: P(a)=P(b)=P(c)=1
Promatraj polinom K definiran K(x)=P(x)-1
Pokaži da ne postoji cjelobrojna točka u kojoj K ima vrijednost -1 (U toj bi točki vrijednost od P bila 0)
Nisam pisala na papir pa nisam skroz sigurna, pa probaj i ako ne ide, javi pa ću pisat...

_________________
Da li je napredak kad ljudozder uzme vilicu?

[anam]

hej thanks, mislim da sam neš napravila, tj jesam, valjda je dobro

[punio4]

Hm... 12. zadatak nemam blage kako riješiti:

Odredite sumu koeficijenata tog polinoma koji stoje uz parne potencije.

[Undómiel]

[Taurus]

Ja sam to rješio, i mislim da bi tako trebalo ići, tako da uvrstiš X = 1 i X = -1, i onda imaš (gledajući da je a(n), a(n-2), .. uz parne potencije, te a(n-1), a(n-3), .. uz neparne potencije, ja sam to tako i definirao) : (1^2 + 1 + 1)^n = a(n) + a(n-1) + ... + a(0) i ((-1)^2 - 1 + 1)^n = a(n) - a(n -1) + ... -a(1) + a(0). To dvoje zbrojis i onda imas 3^n + 1 = 2*(a(n) + a(n-2) + ... + a(2) + a(0)). Podjelis s dva i zamjeniš strane i ispadne : a(n) + a(n-2) + ... + a(2) + a(0) = (3^n + 1)/2

A sad jel to dobro il ne, no idea..

_________________
Moooooooooooooooooooooooo...

[punio4]

Još mi nije jasna jedna stvar...
Kada točno idemo tražit nultočke iz nečega i ubacivati u nešto drugo?
Naime jasno mi je za par algoritama, kao kad tražimo ostatak, no kako znati kada ga treba upotrijebiti?

[ma]

[ma]

[punio4]

Npr, prethodni zadatak... Čisto da ne biflam napamet algoritme...
Zašto smo išli tražiti nultočke? Točnije, što nas je potaknulo da idemo tražiti iste?