Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
blob Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=2333&c=35)
![](images/avatars/1759954599477c96a95f560.jpg)
Pridružen/a: 13. 07. 2007. (18:09:52) Postovi: (23)16
|
Postano: 18:48 uto, 15. 4. 2008 Naslov: Zadatak s današnjeg blica |
|
|
U prvom zadatku je jedna grupa dobila linearni operator [latex]f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3[/latex], našla njegov matrični prikaz (3x3 matrica) i dobila dvije svojstvene vrijednosti: jednu algebarske kratnosti 1, i jednu algebarske kratnosti 2. Bilo je pitanje može li se nešto reći o dijagonalizabilnosti ovog operatora, BEZ da se računaju svojstveni vektori i geometrijske kratnosti svojstvenih vrijednosti.
E sad, imamo teorem da je [latex]f:V\rightarrow V[/latex] dijagonalizabilan ako i samo ako se za svaku svojstvenu vrijednost [latex]\lambda[/latex] od [latex]f[/latex] njena geometrijska poklapa sa algebarskom kratnošću. Isto tako znamo da za svojstvenu vrijednost [latex]\lambda[/latex] vrijedi [latex]1 \leq g_{\lambda} \leq a_{\lambda}[/latex], gdje je [latex]g_{\lambda}[/latex] geometrijska, a [latex]a_{\lambda}[/latex] algebarska kratnost od [latex]\lambda[/latex].
Ako znamo da je za neku [latex]\lambda[/latex] njena algebarska kratnost 2, vidimo da njena geometrijska kratnost može biti ili 1 ili 2, a to pak ne možemo točno odrediti bez računanja svojstvenih vektora, promatranja dimenzije svojstvenog potprostora za tu [latex]\lambda[/latex], odnosno njene geometrijske kratnosti.
Dakle, odgovor bi bio da, poznavajući samo algebarsku kratnost svojstvene vrijednosti [latex]\lambda[/latex] koja je jednaka 2, ne možemo odrediti je li [latex]f[/latex] dijagonalizabilan.
Je li tako?
[size=9](Naravno, kada bi dobili 3 različite [latex]\lambda[/latex], svaka algebarske kratnosti 1, onda bi iz gornjih tvrdnji slijedilo i da su njihove geometrijske kratnosti jednake 1 i da je u tom slučaju operator dijagonalizabilan.)[/size]
U prvom zadatku je jedna grupa dobila linearni operator , našla njegov matrični prikaz (3x3 matrica) i dobila dvije svojstvene vrijednosti: jednu algebarske kratnosti 1, i jednu algebarske kratnosti 2. Bilo je pitanje može li se nešto reći o dijagonalizabilnosti ovog operatora, BEZ da se računaju svojstveni vektori i geometrijske kratnosti svojstvenih vrijednosti.
E sad, imamo teorem da je dijagonalizabilan ako i samo ako se za svaku svojstvenu vrijednost od njena geometrijska poklapa sa algebarskom kratnošću. Isto tako znamo da za svojstvenu vrijednost vrijedi , gdje je geometrijska, a algebarska kratnost od .
Ako znamo da je za neku njena algebarska kratnost 2, vidimo da njena geometrijska kratnost može biti ili 1 ili 2, a to pak ne možemo točno odrediti bez računanja svojstvenih vektora, promatranja dimenzije svojstvenog potprostora za tu , odnosno njene geometrijske kratnosti.
Dakle, odgovor bi bio da, poznavajući samo algebarsku kratnost svojstvene vrijednosti koja je jednaka 2, ne možemo odrediti je li dijagonalizabilan.
Je li tako?
(Naravno, kada bi dobili 3 različite , svaka algebarske kratnosti 1, onda bi iz gornjih tvrdnji slijedilo i da su njihove geometrijske kratnosti jednake 1 i da je u tom slučaju operator dijagonalizabilan.)
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
Postano: 19:44 uto, 15. 4. 2008 Naslov: |
|
|
Valjda... Tako sam i ja dobila.
Samo sto sam ja raspisala dalje. .
Gledajuci algebarsku kratnost, zakljucujem da geometrijska moze biti ili 1 ili 2, pa sam raspisala slucajeve:
1. ako je geom. kratnost 1, f se moze dijagonalizirati,
dok se u suprotnom (tj. ako je geom. kratnost 2) ne moze.
No, koji slucaj zaista vrijedi, ne moze se odrediti bez odredivanja svojstvenih vektora.
Valjda... Tako sam i ja dobila.
Samo sto sam ja raspisala dalje. .
Gledajuci algebarsku kratnost, zakljucujem da geometrijska moze biti ili 1 ili 2, pa sam raspisala slucajeve:
1. ako je geom. kratnost 1, f se moze dijagonalizirati,
dok se u suprotnom (tj. ako je geom. kratnost 2) ne moze.
No, koji slucaj zaista vrijedi, ne moze se odrediti bez odredivanja svojstvenih vektora.
|
|
[Vrh] |
|
Masiela Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=2389&c=824)
![](images/avatars/174181091747401f7b8e47c.jpg)
Pridružen/a: 11. 09. 2007. (22:28:01) Postovi: (338)16
Spol: ![žensko žensko](images/gender/female.gif)
Lokacija: Među bananama
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
Masiela Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=2389&c=824)
![](images/avatars/174181091747401f7b8e47c.jpg)
Pridružen/a: 11. 09. 2007. (22:28:01) Postovi: (338)16
Spol: ![žensko žensko](images/gender/female.gif)
Lokacija: Među bananama
|
|
[Vrh] |
|
Ally Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=2870&c=127)
![](images/avatars/1500648168484c1a49a9e89.jpg)
Pridružen/a: 15. 04. 2008. (19:57:23) Postovi: (7F)16
Spol: ![žensko žensko](images/gender/female.gif)
|
|
[Vrh] |
|
Masiela Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=2389&c=824)
![](images/avatars/174181091747401f7b8e47c.jpg)
Pridružen/a: 11. 09. 2007. (22:28:01) Postovi: (338)16
Spol: ![žensko žensko](images/gender/female.gif)
Lokacija: Među bananama
|
|
[Vrh] |
|
|