Zadatak s današnjeg blica

[blob]

U prvom zadatku je jedna grupa dobila linearni operator , našla njegov matrični prikaz (3x3 matrica) i dobila dvije svojstvene vrijednosti: jednu algebarske kratnosti 1, i jednu algebarske kratnosti 2. Bilo je pitanje može li se nešto reći o dijagonalizabilnosti ovog operatora, BEZ da se računaju svojstveni vektori i geometrijske kratnosti svojstvenih vrijednosti.

E sad, imamo teorem da je dijagonalizabilan ako i samo ako se za svaku svojstvenu vrijednost od njena geometrijska poklapa sa algebarskom kratnošću. Isto tako znamo da za svojstvenu vrijednost vrijedi , gdje je geometrijska, a algebarska kratnost od .

Ako znamo da je za neku njena algebarska kratnost 2, vidimo da njena geometrijska kratnost može biti ili 1 ili 2, a to pak ne možemo točno odrediti bez računanja svojstvenih vektora, promatranja dimenzije svojstvenog potprostora za tu , odnosno njene geometrijske kratnosti.

Dakle, odgovor bi bio da, poznavajući samo algebarsku kratnost svojstvene vrijednosti koja je jednaka 2, ne možemo odrediti je li dijagonalizabilan.

Je li tako?

(Naravno, kada bi dobili 3 različite , svaka algebarske kratnosti 1, onda bi iz gornjih tvrdnji slijedilo i da su njihove geometrijske kratnosti jednake 1 i da je u tom slučaju operator dijagonalizabilan.)

[Gost]

Valjda... Tako sam i ja dobila.
Samo sto sam ja raspisala dalje. .
Gledajuci algebarsku kratnost, zakljucujem da geometrijska moze biti ili 1 ili 2, pa sam raspisala slucajeve:
1. ako je geom. kratnost 1, f se moze dijagonalizirati,
dok se u suprotnom (tj. ako je geom. kratnost 2) ne moze.
No, koji slucaj zaista vrijedi, ne moze se odrediti bez odredivanja svojstvenih vektora.

[Masiela]

Ja sam ubacila taj lambda i ispao mi je rang matrice A-lambdaI 1, tj. geometrijska kratnost = 3-1=2 = algebarska kratnost.

_________________
mladac: e.k.s. je možda 8%, moje znanje ni toliko

[Gost]

Sorry, krivo sam napisala.. Sad sam skuzila..
Ono u slucajevima:
Ugl, ako je geom. kratnost jednaka algebarskoj (tj. mislim da je bilo 2) onda se f moze dijagonalizirati, a u suprotnom ne moze.
Sve ostalo vrijedi..

[Gost]

E, al pisalo je da zakljucimo bez racunanja svojstvenih vektora. Mislim da to nije trebalo..

[Masiela]

Nisam ni računala svojstvene vektore

_________________
mladac: e.k.s. je možda 8%, moje znanje ni toliko

[Ally]

Pametno, pametno!!
Rang je jednak dimenziji, a dimenzija je jednaka geom. kratnosti, jel?
Zasto se ja toga nisam sjetila??

_________________
I just wanna dance..

[Masiela]

Geometrijska kratnost je jednaka dimenziji nul-prostora matrice, a ta dimenzija je jednaka broj redaka/stupaca - rang matrice (formula s kraja 1. semestra - ono kad smo radili 4 temeljna potprostora matrice).


EDIT: Znam ja zašto se nisi sjetila Iz nekog razloga sam na više mjesta na vježbama zapisala ovo tako da je bilo poprilično nevjerojatno ne naletjeti na to listajući bilježnicu. Ponekad nije loše ni biti senilan

_________________
mladac: e.k.s. je možda 8%, moje znanje ni toliko