O prostim brojevima (zadatak)

[StateOfConsciousness]

Bok. Smislio sam slijedeći zadatak i nemam ideju kako bih ga dokazao a zadatak glasi: Dokazati da postoji niz p, p: n→p(n) prostih brojeva takav da vrijedi lim(per(p(n))/p(n)) =1, pri čemu je per funkcija koja prostom broju p pridružuje duljinu perioda broja 1/p u nekoj bazi (neka se, konkretno, u ovom primjeru radi o bazi 10 premda je slutnja, vjerujem ,istinita i u bilo kojoj drugoj bazi). Što mislite o ovom problemu? Čini vam se preteškim ili je nešto trivijalno? Ja, iskreno, ne vidim kako bih mogao lako konstruirati takav niz ili barem dokazati da postoji? Zahvaljujem na svakoj pomoći i vašem mišljenju o slutnji.

_________________
Look at every path closely and deliberately. Try it as many times as you think necessary. Then ask yourself,
and yourself alone, one question . . . Does this path have a heart? If it does, the path is good; if it doesn’t it is of no use.
Carlos Castaneda, The Teachings of Don juan

[duje]

Artinova slutnja kaze da je per(p)=p-1 za beskonacno mnogo prostih brojeva p. Hooley je dokazao da prosirena Riemannova slutnja povlaci Artinovu slutnju. Heath-Brown je dokazao da je slutnja tocna u barem jednoj u baza 2, 3 ili 5.

A postoje i rezultati tipa:
ako je q prost broj, q== 3, 9 ili 11 (mod 20), te ako je p=2q+1 prost, onda je per(p)=p-1.
Opet, slutnja je da takvih prostih brojeva ima beskonacno mnogo, ali se ne zna dokazati.

Koliko je ovo s lim=1 lakse od per(p)=p-1, ne znam.

[StateOfConsciousness]

[StateOfConsciousness]

Znate li možda da li se mijenja duljina perioda broja 1/p (pri čemu je p prost broj) ako se on pomnoži nekim prirodnim brojem m koji je relativno prost sa p,tj, da li je uvijek per(1/p)=per(m/p);p je prost, m i p su relativno prosti?

_________________
Look at every path closely and deliberately. Try it as many times as you think necessary. Then ask yourself,
and yourself alone, one question . . . Does this path have a heart? If it does, the path is good; if it doesn’t it is of no use.
Carlos Castaneda, The Teachings of Don juan

[duje]

Ne mijenja se.

[StateOfConsciousness]

Napisali ste da je Heath-Brown dokazao da je Artinova slutnja točna u barem jednoj od baza 2,3 i 5. Da li iz tog da je točna u barem jednoj bazi proizlazi da je točna u svim bazama ili takvo što još nije potvrđeno ili opovrgnuto?

_________________
Look at every path closely and deliberately. Try it as many times as you think necessary. Then ask yourself,
and yourself alone, one question . . . Does this path have a heart? If it does, the path is good; if it doesn’t it is of no use.
Carlos Castaneda, The Teachings of Don juan

[duje]

[StateOfConsciousness]

Još jedno pitanje. Neka su m/n i p/q neki (pozitivni) racionalni brojevi. Da li je duljina perioda broja (mq+np)/nq = m/n + p/q veća ili jednaka od broja max{per(m/n), per(p/q)}? Unaprijed zahvaljujem na eventualnom odgovoru.

Added after 4 minutes:

[duje]

Mislim da ne mora biti. Npr. 1/21 + 2/7 = 1/3.

[StateOfConsciousness]

[duje]

[StateOfConsciousness]

[quote="duje"]

[duje]

[StateOfConsciousness]

[duje]

Ako su n i q relativno prosti, onda je nazivnik od m/n+p/q jednak n*q.
Ako je period od m/n+p/q jednak k, onda je 10^k == 1 (mod n*q).
Odavde je 10^k == 1 (mod n) i 10^k == 1 (mod q), pa periodi od m/n i p/q nisu veci od k.

[StateOfConsciousness]

[duje]

Predlazem da raspisete sto znaci da m/n (ili 1/n ako ce biti lakse) ima period k. Vjerujem da cete doci do kongrencije 10^k == 1 (mod n) (ako se radi u bazi 10).
Nesto slicno sam bio napisao u svom drugom postu na ovom Forumu.

[StateOfConsciousness]

[duje]

[StateOfConsciousness]