Duh prošlih kolokvija (zadatak)

[zvonkec]

Može neko ak mu se da pogledat treci zadatak s kolokvija 2006 treca grupa. Ne znam kak da ga postam pa cu ga napisat kako znam i umijem:

S:={log po bazi 2 od (10mn)/(2m+5n)^2}

_________________
nekad sam bio umišljen al sam se promijenio sad sam savršen

[Ivanaa]

Buduci da je strogo rastuca funkcija dovoljno je naci infimum i supremum od pa ce onda od toga biti infimum i supremum od S.
Ocito je buduci da su m i n prirodni brojevi, a ako uzmemo da je . Dakle infimum od S ne postoji.
Za supremum moramo dobiti neku gornju medu ovog izraza odnosno od cega je manje ili jednako. Buduci da je , a za . Dakle supremum od S je

To je valjda to, ak si htio samo hint ispricavam se.

[Joker]

http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0708-kol2.pdf


jel bi rijesio netko 3. zadatak iz prve grupe,a za drugu samo ideja da vidim dal mi je tocno...

u prvoj grupi nemogu nikako rastaviti ovaj skup na nesto normalno =SS

[A-tom]

@Ivana

Kako znas da iz A-G nejednakosti slijedi da je izraz manji ili jednak 1/4?


Da nadem infinum i supremum sljedeceg skupa pomocu unije?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28n%2B2%29%2F%285-2n%29

[Ivanaa]

[pmli]

[A-tom]

Odlicno, hvala!

Je li bi mogla napisati postupak za sljedeci zadatak:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28n^2%29%2F%28m^2%2B2*m*n%2B5n^2%29

n^2/(m^2 + 2 m n + 5 n^2)

Umjesto da fixiram vrijednosti od jedne nepoznanice, pokusala sam rjesiti da gledam skup kao http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B.5x%2B.2+x+from+0+to+10, te posto nema restrikcija na m i n, nekako mi je prirodno da skup nije omeden odozgo.

[mornik]

Smijem li samo pripomenuti da ovo što imaš u drugom linku nije isto početnom zadatku: tebi treba , a ne . Ne znam jesi li se tu nešto zeznula s WolframAlphom ili nešto, ali te dvije stvari očito nisu iste (čak i ako objasnimo nestajanje ovog razlomka time da je supremum razlomka u ovom slučaju recipročan infimumu brojnika i obratno).

A ideja je sve u svemu dobra, samo što izvlačiš krive zaključke: skup uistinu nije omeđen odozgo. Također, svi njegovi članovi su pozitivni, što će reći i da su svi članovi skupa pozitivni.

Dakle, . Stoga, možemo reći da je . Možda bi tu trebalo biti nešto precizniji, ali stvar je dosta jasna: jer su svi članovi pozitivni, a ako za svaki imamo takav da je (a upravo smo rekli da imamo), onda je i .

Što se supremuma tiče, lako utvrdimo da je . (Neprekidna funkcija je strogo rastuća na , pa joj je infimum "kod ", a nuli možemo doći proizvoljno blizu s pozitivnim racionalnim brojevima). Stoga, . Možda bi i tu trebalo kakvo pojašnjenje u stilu gore, možda ste i to spominjali kao nekakvu "gotovu" tvrdnju, ali stvar je sve u svemu dosta jasna. Ne znam koliko ste detaljno to objašnjavali, reci ako treba više.

Eto, i to bi trebalo biti to.

—

Aha, Jokerovo pitanje. Urgh, to s 2008. bi trebalo zabraniti. OK, taj iz prve grupe sam ovdje kakti riješio i diskutirao eventualnu grešku u setu zadataka iz te godine, da sad ne ulazimo ponovno u to. Uglavnom, ovaj iz prve grupe je još kao rješiv, ali nekako nisam baš uvjeren da je bilo namijenjeno da se sve ovo radi. (Možda postoji i neko lakše rješenje, doduše, ne znam... ) Pretpostavio bih da je ipak ideja bila da se stvar relativno lako može razdijeliti na "umnožaK" dva skupa - jedan koji ovisi samo o jednoj varijabli, a drugi o drugoj, ali to u tom zadatku nisam u brojniku uspio izvesti. Doduše, možda griješim.

Druga grupa, na sreću (možda/valjda i jedina), nema greške: samo podijeli sve s (ili , što god te više veseli, pa dalje idi sa supstitucijom (ili recipročnom), kako ste to već radili na vježbama. Reci ako će trebati kakva pomoć.

Aha, sad vidim da je pmli već odgovorio. Meh. Neka ostane, glupo mi sad brisati.

—
EDIT: Glup i ne zna pročitati zadatak. mornik, to jest. Isprike. Sad je valjda OK.

[A-tom]

Hvala Mornik!

Nisam zeznula s Mathematicom nego sam, kada se pokrati, racnuala na sljedeci nacin:

(n/m)^2 + (n/2m) + 1/5 te je q=(n/m) pa je to ekvivalent
q^2 + .5q + .2

Posto su i n i m prirodni brojevi, svejedno je je li n ili m u brojniku? Ti si uzeo da je q=(m/n).

[mornik]

Ne znam, možda je ovo već prekasno navečer za mene, ali nekako mi se čini da si u tom slučaju koristila , što (očito) nikako ne stoji. Naravno, i u tom slučaju je WolframAlpha krivo protumačio što ti hoćeš (onaj na kraju je višak), ali nebitno.

Inače, sad sam vidio kod sebe grešku, krivo sam pročitao zadatak (u nazivniku je , a ja sam konstantno pisao . Nema neke razlike (osim u završnom rezultatu), ali sad ću to izmijeniti. Sorry. Zbunile su me ove i kod tebe, mislio sam da su samo točkice viška.

[888]

jel može mala pomoć oko 4. zadatka pod a) http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0708-kol2.pdf
hvala:)

skroz zadnja grupa.. ono sa e^sinx

[mornik]

Nisi rekla/o o kojoj se grupi radi, pa evo samo neki hintovi i polurješenja.

U prvoj grupi, prvo izluči - to ti neće stvarati probleme. Nakon toga promatraj što znaš o limesima od , i . Svi od tih limesa bi ti trebali biti poznati/lako izračunljivi. Finalni rezultat bi mogao (ali ne mora ) biti .

U drugoj grupi, smisleno je usporediti s , tj. pronaći limes od . To nije teško. Nakon toga, usporedi s , što je poznati limes. Preostaje još da odrediš limes od , što smo već napravili u prvoj grupi: izlučimo pa imamo poznati limes. Finalni rezultat bi tu trebao biti opet .

Treča grupa se zapravo svodi na tehnike koje smo koristili u prvoj i drugoj. Prvo odredi limes od , pa dolje izluči , s čim nećeš imati problema. Dalje, znaš i limes od . Naposljetku preostaje da odredimo limes od , a to znaš: . Kad sve to izmnožimo (s tim da ne smijemo limese "parcijalno" računati, pa ići s njima dalje u račun, nego ih sve moramo izračunati na kraju!), dobivamo završni limes koji bi i po treći put trebao iznositi .

Naposljetku, četvrta grupa je uvijek ista. Prvo, hajde da izlučimo u brojniku (vjerojatno može i ). Sad gore znamo limes od . S druge strane, dolje znamo limes od (primijeti da je ). Naposljetku valja izračunati limes od , a to znamo: podijeli i brojnik i nazivnik s . I ovaj bi put, ako se ne varam, limes mogao biti .

Uh. Nisu tako kratki ovi zadaci, pogotovo za pisati u TeX-u.

E, sad kad sam napisao, ti promijeniš post, vidim.

[Joker]

Druga grupa, na sreću (možda/valjda i jedina), nema greške: samo podijeli sve s (ili , što god te više veseli, pa dalje idi sa supstitucijom (ili recipročnom), kako ste to već radili na vježbama. Reci ako će trebati kakva pomoć.

Ej, evo to sam i radila prije nego sam postavila pitanje,dakle dobijem skup
S={ q / (q^2 + 3q + 4) }

supremum mi ispada 1/7, a infimum 0...i nisam sigurna da je to dobro..=) pa?? =))

[mornik]

Infimum svakako jest , a supremum... jest, rekao bih i da je to OK.

[888]

a sry, skuzila sam da nisam grupu napisala al prekasno :S
hvala punoo !!

[A-tom]

[Tomislav]

[rom]

http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0809-kol2.pdf ,prvi zadatak, bilo koja grupa..dobim da niz raste za prva 4 člana, pa onda padne, pa opet počne rast...kak se sad onda dokazuje konvergencija? stavim da niz raste samo od nekog n-a ili?

[pbakic]

Pa da, za konvergenciju je dovoljno da je niz ogranicen i monoton od nekog n nadalje. Za rjesavanje zadataka, to znaci da moras dobro odabrati bazu indukcije...
Obicno iz uvjeta prilicno brzo izadje kakav n mora biti...
Inace, ovaj niz iz kolokvija (npr, prva grupa) izgleda ovako:
0 0 1/3 1/3 7/18...
(tj raste cijelo vrijeme)
Ako stavimo , dobivamo
iz toga vidimo da je dovoljno da imamo da bi bilo , a taj uvjet imamo zadovoljen vec od prva 3 clana, dakle niz je od pocetka rastuci

[zvonkec]

Jel neko mozda rijesio 5b zadatak 2007 prva grupa. Probo sam dosta toga al ne ide vjerojatno je jednotavno al se ne mogu sjetit.http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0607-kol2.pdf


Edit: Rjesio sam.

_________________
nekad sam bio umišljen al sam se promijenio sad sam savršen