Priprema za 2. kolokvij

[kaj]

Znam da je još "daleko" drugi kolokvij iz MA1, ali ovakva tema će kad-tad bit otvorena

prvo pitanje: 2.kol 2008/2009. za inf i sup skupa
moje rješenje je inf: -1/4
sup: 5/3 jel dobro??

[mornik]

Budući da su postojale četiri grupe, vjerojatno bi u postu imalo smisla u tom kontekstu spomenuti neki prirodni broj u intervalu [1,4].

Anyway, ako se radi o prvoj grupi (a bila bi dosta velika slučajnost da se ne radi ), onda mislim da ti je točno.

(Inače, zanimljivo je kako to koliko još vremena ima do kolokvija, neovisno o pojedincu, nije pretjerano neprekidna funkcija... u trenu (obično negdje tjedan dana prije kolokvija) promijeni vrijednost iz "maaa daaaaleko " u "ufff... bliiizu ".)

[eve]

Mozes li pliz napisat kako si doso do tih brojeva

[kaj]

Da, sjetio sam se odmah da nisam spomenuo grupu (naravno da je prva po defaultu)
sto se tiče rješenja imamo dva slučaja zbog m*pi u argumentu fje cos pa izraz cos(m*pi) može biti 1 ili -1 (ovisno jel m paran ili neparan)
sad nam preostaje odrediti inf i sup u ta dva slučaja zasebno (preko nizova kad n teži u besk. jel) pa odaberemo manji inf od ta dva i veći sup (od ta dva supremuma jel)

I da može pomoć sa 2007/2008 PRVA GRUPA! 3. zadatak??(isti takav tip)

[mornik]

Dakle, u vezi tih zadataka (1. i 3. grupa) smo se kolega i ja prošle godine dosta mučili, znam da nam je jedan od njih posebno zadavao muke, ali ne znam koji od ta dva. Valjda je ipak veći problem bio u 3. grupi (ako se ne varam, pojavila se i informacija da zadatak sadrži tipfeler ili tako nešto, pa da zapravo nije bio tako ni zamišljen... možda netko zna više), jer mislim da sam ovaj uspio riješiti.

Kažem, zadatak je dosta težak (osim ako ne postoji neki trik), rješenje bi moglo ići otprilike ovako (nisam pretjerano precizan u ovom pisanju, ali mislim da sve napisano može biti i rigoroznije dokazano):

Nazivnik se da faktorizirati, on iznosi . Prvo odvojeno promatramo slučajeve i .

Neka je . Tada imamo razlomke oblika Tu je očito supremum , a infimum .

Neka je sada . U tom slučaju imamo razlomke oblika . Tada je supremum , a infimum .

I sad idemo na glavni slučaj: . Tu je nazivnik negativan, tj. imamo razlomke oblika . Fiksirajmo . Želimo pokazati da je sad rastuće kako se povećava.

To znači da želimo pokazati kako je padajući niz (podsjećam, s fiksnim ). No, . Kako je konstantan, a pozitivan, onda pada, pa smo tvrdnju dokazali.

Dakle, u svakom od ovih slučajeva infimum se postiže za , a supremum je limes za (uz fiksirani ).

Pogledajmo koliki su ti infimumi i supremumi. Za imamo da je razlomak za svaki jednak . Nas zanima samo najmanji od tih infimuma, a on se postiže za (uzeli smo ) i iznosi .

Još nas zanima supremum. Dakle, fiksiramo i pokazali smo da se supremum ne postiže, tj. da ga dobivamo na limesu za . Stoga, zanima nas . Lako dobivamo da to iznosi . Zanima nas najveći od tih supremuma, a on se također tek "postiže u beskonačnosti" i iznosi .

Sad smo došli do kraja. Kad pogledamo sve infimume i supremume, "ukupni infimum" je najmanji od njih, a to je (postiže se za , ), a "ukupni supremum" najveći od svih supremuma, a to je (postiže se za , ).

Evo, to bi bilo to, nadam se da negdje nisam pogriješio, makar su šanse za to (da nisam pogriješio, ne da jesam ) sasvim minimalne. Možda smo mogli i malo "varati" (npr. naći infimume i supremume, a zatim dokazati da su sve ostale vrijednosti između njih), ali ovo je napravljeno baš onako "školski" i ne vidi se pretjerano da sam koristio kalkulator.

Valjda onda 3. grupa ima taj "nerješiv"...

[kaj]

U 4. grupi je taj s tipfelerom i rješavali smo ga na vježbama i ispada da je lakši sa tipfelerom (kaže asist. Mimica)

sa tipfelerom: n^2/(m^2+m+5*n^2)
bez: n^2/m^2 + m*n + 5*(n^2)

[vuja]

imam jedno pitanje i ne otvara mi se nova tema... da li postoji kakva knjiga/skripta/udžbenik/bilo šta, gdje bi se mogli pronaći dokazi teorema koje dokazujemo na predavanjima i vježbama. po mogućnosti pojašnjeni. hvala unaprijed

[Milojko]

[niveus]

Treba odrediti infimum i supremum skupa S={7-4n/2n-1: n e N}

Hvala

[eve]

inf=-2
sup=3

[niveus]

Kak si dobila za supremum 3

[mornik]

Niz je padajuć, pa je stoga supremum ovog skupa prvi član tog niza. Kako je , eto ti traženog odgovora .

[niveus]

tak sam napravila ali sam zaboravila da ako je niz padajuć da je onda supremum prvi član, hvala

[andra]

imam jedno lijepo pitanjce... kad imam npr u nizu S={(7+n-2ncos(mpi))/(2+4n) :m,n element N}
i sad znam da moram gledati kad mi je cosinus 1 kad je -1 a kad je 0 ali mene muci dio sa nula.... znam da mi je cosinus nula u pi/2+kpi i onda dobijem da mi je cos(mpi) nula za k+1/2 ali kad sam gledala zadatak u biljeznici imam da mi je cos(mpi/2) nula za 2k-1 ali racunajuci na nacin na koji sam gore racunala dobijem 2k+1 i sad sam zbunjena...

[mornik]

Ako sam ja dobro shvatio što ti pitaš (a u to nisam baš uvjeren )...

Dobro, nebitno je što se tiče ostatka tvojeg pitanja, ali nije jednako niti za jedan - uvijek je ili (ako je paran) ili (ako je neparan). Stoga su ta dva slučaja jedini koji nas interesiraju. Naime, kao što si rekla, da kosinus bude trebali bismo imati za neki , što je očito nemoguće, budući da je cijeli broj.

A dalje, ako te dobro shvaćam, ti pitaš koja je razlika između skupa , kojeg si dobila jednim računom, i skupa , kojeg si dobila drugim računom i što je onda točno od tog dvoje itd. Odgovor je jednostavan - ta dva skupa su, makar izgledaju različito, potpuno isti, pa nije ni čudno što si ih dobila.

Dakako, može se dati i formalnije objašnjenje (to su skupovi svih brojeva koji su od prethodnog, odnosno sljedećeg, cijelog broja udaljeni za , ali mislim da će ti ovo biti sasvim razumno: . S druge strane, . Stoga, vidiš da se zapravo radi o istim skupovima.

Također, primijeti da je skup svih neparnih brojeva, isto kao i (to opet možeš zornije vidjeti tako da napišeš zaredom nekoliko članova ta dva skupa), pa su i ova dva skupa ista, pa nemaš grešku u rješavanju .

[andra]

puuuuuuuno hvala ))))
ma zeljni znanja imamo jos pitanje jedno

kad mi limes tezi u 0 a imam ((sin^2x)+x^2)/(lncosx) dali mi je tocan rezultat -4??

[Luuka]

[andra]

i evo mene opet...
3 bespomocne djevojke u nsb-u pokusavaju rijesiti ovaj zadatak ali im bas i ideje ne padaju na pamet... stoga molimo pomoc
zadatak glasi:
lim (x-0) (sqrt(x+9) -x-3)/(sqrt(x+9)-3)

unaprijed hvala

uspjele smo rijesiti zadatak

[mornik]

Daklem, poanta je racionalizirati nazivnik, kao i u manje-više svim takvim zadacima s korijenima. Kad to tri bespomoćne djevojke naprave, garantirano su gotove . Uglavnom, . Rezultat je sada očito .

Uglavnom, ovaj zadatak je bio zbilja lagan i ima zapravo samo jednu ideju, koja se ionako na vježbama i demonstraturama spominje do iznemoglosti, a to je riješiti se korijena u nazivniku (možda se poslije ne vidi odmah da se može izlučiti iz brojnika, ali i to se dobije, u najgorem slučaju pomnoživši svaki član sa svakim).

[niveus]

Mala pomoć:

1)lim(x->1) x^m -1/x^n -1 (m,n elementi iz N)

2) lim(x->-1) 1+peti korijen(x) /1+treći korijen(x)