Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Problem oko rješavanja limesa
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Rodman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 09. 2003. (14:08:59)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 16:35 pon, 31. 1. 2005    Naslov: Problem oko rješavanja limesa Citirajte i odgovorite
1 zadatak
[latex]\lim \frac{(1 + x^{2} ) \cdot e^{1.5x^2} - 1}{x \cdot \sin2x }= \lim \frac{(1 + x^{2} ) \cdot e^{1.5x^2} - 1}{ \frac{x \cdot \sin2x \cdot2x}{2x} }= \lim \frac{(1 + x^{2} ) \cdot e^{1.5x^2} - 1 + x^2 - x^2}{ \frac{ \sin2x \cdot3x}{2x} }= [/latex]
x teži k 0
[latex] \lim \frac{(1 + x^{2} ) \cdot (e^{1.5x^2} - 1 ) \cdot \frac {x}{2}}{ 3x\cdot \frac{x}{2} } - \lim \frac{ x^2}{3x}= \lim (1 + x^{2} ) \cdot \frac {x}{2} - \lim \frac{x}{3}=0 ?[/latex]
x teži k 0

2 zadatk
[latex] \lim \frac{e^x - e}{lnx}= \lim \frac{e^{y +1} - e}{ln(y + 1)}= \lim \frac{e\cdot (e^y - 1) }{ln(y + 1)}= ?[/latex]
x teži k 1 ,x=y-1 y teži k 0

3 zadatak
[latex] \lim \frac{\cos 3x \cdot e^{3x^2} - 1}{(\sin x)^2}= \lim \frac{\cos 3x \cdot e^{3x^2} - 1 - \cos 3x + \cos 3x}{(\sin x)^2}=[/latex]
x teži k 0
[latex] \lim \frac{\cos 3x \cdot e^{3x^2} - \cos 3x}{(\sin x)^2} + \lim \frac{\cos 3x -1}{(\sin x)^2}=[/latex]
[latex] \lim \frac{\cos 3x \cdot (e^{3x^2} -1) \cdot 3x^2}{(\sin x)^2 \cdot 3x^2} - \lim \frac{(1 - \cos 3x) \cdot 3x}{(\sin x)^2 \cdot 3x}= \lim \frac{\cos 3x \cdot 3x^2}{(\sin x)^2} - \lim \frac{3x}{(\sin x)^2}=[/latex]
[latex]\lim \frac{\cos 3x \cdot 3x^2 - 3x}{(\sin x)^2}=?[/latex]
1 zadatak

x teži k 0

x teži k 0

2 zadatk

x teži k 1 ,x=y-1 y teži k 0

3 zadatak

x teži k 0




[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Rodman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 09. 2003. (14:08:59)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 18:54 pon, 31. 1. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
evo još dva zadatka s derivacija,molim vas dal mi netko može reci dal su točno riješeni ak nisu što mi je krivo, unaprijed hvala!

1 zadatak
[latex] f(x)= \ln \frac{1 + \sqrt{\sin x}}{1 - \sqrt{\sin x}} + 2 \cdot \arctan \sqrt{\sin x}= \ln \frac{1 + \sqrt{\sin x}}{1 - \sqrt{\sin x}}' + 2 \cdot \arctan \sqrt{\sin x}'= [/latex]
[latex]= \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{\sin x}}{1 - \sqrt{\sin x}}} \cdot ( \frac{1 + \sqrt{\sin x}}{1 - \sqrt{\sin x}} )' + 2 \cdot ( \frac{1}{1 + \sin x)} \cdot ( \sqrt {\sin x})' =[/latex]
[latex]= \frac{1 - \sqrt{\sin x}}{1 + \sqrt{\sin x}} \cdot \frac{(1 - \sqrt {\sin x} ) \cdot \frac{\cos x}{2 \cdot \sqrt{\sin x}} + \frac{\cos x}{2 \cdot \sqrt{\sin x}} \cdot (1 + \sqrt {\sin x})}{(1 - \sqrt{\sin x})^2} + 2 \cdot \frac {\cos x}{(1 + \sin x) \cdot 2 \cdot \sqrt {\sin x}} [/latex]

2 zadatak
[latex] g(x)= (ch x )^{sh x} \cdot (sh x )^{ch x} [/latex]
[latex] g(x)'= (ch x )^{sh x} \cdot ((sh x )^{ch x})'
+ ((ch x )^{sh x})' \cdot (sh x )^{ch x} [/latex]

[latex] k(x)=(ch x )^{sh x} [/latex]
[latex] \ln k(x)=(sh x) \cdot \ln (ch x) [/latex]
[latex] \frac{1}{k (x)'} =((sh x) \cdot \ln (ch x))' [/latex]
[latex] k(x)'= \frac{1}{((sh x) \cdot \ln (ch x))'} [/latex]
[latex] k(x)'= \frac{1}{{(ch x) \cdot \ln (ch x)} + {\frac{(sh x) \cdot (sh x)}{(ch x)}}}[/latex]

[latex] h(x)=(sh x )^{ch x} [/latex]
[latex] \ln h(x)=(ch x) \cdot \ln (sh x) [/latex]
[latex] \frac{1}{h (x)'} =((ch x) \cdot \ln (sh x))' [/latex]
[latex] k(x)'= \frac{1}{((ch x) \cdot \ln (sh x))'} [/latex]
[latex] k(x)'= \frac{1}{{(sh x) \cdot \ln (sh x)} + {\frac{(ch x) \cdot (ch x)}{(sh x)}}}[/latex]

[latex] g(x)'= \frac{(sh x)^{(ch x)}}{{(ch x) \cdot \ln (ch x)} + {\frac{(sh x) \cdot (sh x)}{(ch x)}}} + \frac{(ch x)^{(sh x)}}{{(sh x) \cdot \ln (sh x)} + {\frac{(ch x) \cdot (ch x)}{(sh x)}}} [/latex]
evo još dva zadatka s derivacija,molim vas dal mi netko može reci dal su točno riješeni ak nisu što mi je krivo, unaprijed hvala!

1 zadatak




2 zadatak

















[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Crni
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 12. 2003. (01:20:43)
Postovi: (23C)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
4 = 29 - 25
Lokacija: Zagreb
PostPostano: 20:34 pon, 31. 1. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
[b]2. derivacija[/b],

[latex]\displaystyle g(x)=(chx)^{shx}\cdot (shx)^{chx} [/latex]

Nakon logaritmiranja cijelog izraza po e, dobiješ:

[latex]\ln g(x)=shx\cdot \ln chx+chx\cdot \ln shx[/latex]

Nakon deriviranja, dobiješ:

[latex]\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}=chx\ln chx+\frac{sh^{2}x}{chx}+shx\ln shx+\frac{ch^{2}x}{shx}[/latex]

Pa nakon množenja sa g(x), imaš

[latex]\displaystyle g'(x)=(chx\ln chx+\frac{sh^{2}x}{chx}+shx\ln shx+\frac{ch^{2}x}{shx})\cdot (chx)^{shx}\cdot (shx)^{chx}[/latex]
2. derivacija,



Nakon logaritmiranja cijelog izraza po e, dobiješ:



Nakon deriviranja, dobiješ:



Pa nakon množenja sa g(x), imaš



[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Crni
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 12. 2003. (01:20:43)
Postovi: (23C)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
4 = 29 - 25
Lokacija: Zagreb
PostPostano: 20:48 pon, 31. 1. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
Limese možeš preko L'Hospitala

npr...

[latex]\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\frac{e^{y+1}-e}{\ln (y+1)}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\frac{d(e^{y+1}-e)}{dy}}{\frac{d(ln (y+1))}{dy}}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{e^{y+1}}{\frac{1}{y+1}}=e[/latex]
Limese možeš preko L'Hospitala

npr...



[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Rodman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 09. 2003. (14:08:59)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 21:47 pon, 31. 1. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Crni"]Limese možeš preko L'Hospitala

npr...

[latex]\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\frac{e^{y+1}-e}{\ln (y+1)}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\frac{d(e^{y+1}-e)}{dy}}{\frac{d(ln (y+1))}{dy}}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{e^{y+1}}{\frac{1}{y+1}}=e[/latex][/quote]
zaboravio sam napisati da se sva 3 zadatka treba rijesiti bez upotrebe L'Hospitala pravila,sorry sta nisam prije napomenuo
Crni (napisa):
Limese možeš preko L'Hospitala

npr...


zaboravio sam napisati da se sva 3 zadatka treba rijesiti bez upotrebe L'Hospitala pravila,sorry sta nisam prije napomenuo


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Rodman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 09. 2003. (14:08:59)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 21:49 pon, 31. 1. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Crni"][b]2. derivacija[/b],

[latex]\displaystyle g(x)=(chx)^{shx}\cdot (shx)^{chx} [/latex]

Nakon logaritmiranja cijelog izraza po e, dobiješ:

[latex]\ln g(x)=shx\cdot \ln chx+chx\cdot \ln shx[/latex]

Nakon deriviranja, dobiješ:

[latex]\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}=chx\ln chx+\frac{sh^{2}x}{chx}+shx\ln shx+\frac{ch^{2}x}{shx}[/latex]

Pa nakon množenja sa g(x), imaš

[latex]\displaystyle g'(x)=(chx\ln chx+\frac{sh^{2}x}{chx}+shx\ln shx+\frac{ch^{2}x}{shx})\cdot (chx)^{shx}\cdot (shx)^{chx}[/latex][/quote]
moram priznati da mi nije bas jasno zasto je ovo dobro a moje krivo :?
Crni (napisa):
2. derivacija,



Nakon logaritmiranja cijelog izraza po e, dobiješ:



Nakon deriviranja, dobiješ:



Pa nakon množenja sa g(x), imaš


moram priznati da mi nije bas jasno zasto je ovo dobro a moje krivo Confused


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 0:03 uto, 1. 2. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
Zadaci s deriviranjem:

1. je dobro deriviran (do na sređivanje), ali nemoj u produžetku pisati
f(x)= neka formula = (neka formula)' =f'(x) :)

U 2. je pogrešno zaključivanje
[latex] (\ln k(x))' =\frac{1}{k (x)'}[/latex]
Ispravno je
[latex] (\ln k(x))' =\frac{k(x)'}{k(x)}[/latex]
Dakle,
[latex] k(x)'= k(x)\left({(ch x) \cdot \ln (ch x)} + {\frac{(sh x) \cdot (sh x)}{(ch x)}}\right)[/latex]
Inače, pametnije je bilo odmah cijelu formulu logaritmirati kao što je napravio Crni.
Zadaci s deriviranjem:

1. je dobro deriviran (do na sređivanje), ali nemoj u produžetku pisati
f(x)= neka formula = (neka formula)' =f'(x) Smile

U 2. je pogrešno zaključivanje

Ispravno je

Dakle,

Inače, pametnije je bilo odmah cijelu formulu logaritmirati kao što je napravio Crni.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 0:37 uto, 1. 2. 2005    Naslov: Re: Problem oko rješavanja limesa Citirajte i odgovorite
Zadaci s limesima:

1.
Nemoj postupno zanemarivati dijelove izraza od kojeg računaš limes. (Npr. tako je nestao onaj sinus u nazivniku.) To nije logički korektno (pa makar često dobili ispravan rezultat).
A inače si nešto algebarski spetljao. Trebalo bi npr. ovako:
[latex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1 + x^{2} ) \cdot e^{1.5x^2} - 1}{x \cdot \sin2x }= \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1 + x^{2} ) \cdot e^{1.5x^2} - 1 - x^2 + x^2}{ \frac{ \sin2x }{2x}\cdot 2x^2 }= [/latex]
[latex]=\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1 + x^{2} ) \cdot (e^{1.5x^2} - 1)+x^2}{\frac{ \sin2x }{2x}\cdot 2x^2 }=\displaystyle\frac{:x^2}{:x^2}= \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1 + x^{2} ) \cdot \frac{e^{1.5x^2} - 1}{1.5 x^2}\cdot 1.5+ 1}{2\cdot\frac{ \sin2x }{2x}}=[/latex]
[latex]=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}(1 + x^{2} ) \cdot \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{1.5x^2} - 1}{1.5 x^2}\cdot 1.5+ 1}{2\cdot\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{ \sin2x }{2x}}=\displaystyle\frac{1\cdot 1\cdot 1.5 +1}{2\cdot 1}=\displaystyle\frac{5}{4}[/latex]

2.
[latex]\displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{e^x - e}{\ln x}= \displaystyle\lim_{y\to 0} \frac{e^{y +1} - e}{\ln(y + 1)}= \displaystyle\lim_{y\to 0} \frac{e\cdot (e^y - 1) }{\ln(y + 1)}=[/latex]
[latex]=\displaystyle\lim_{y\to 0} \frac{e\cdot \frac{e^y - 1}{y} }{\frac{\ln(y + 1)}{y}}=\displaystyle\frac{e\cdot\displaystyle\lim_{y\to 0}\frac{e^y - 1}{y} }{\displaystyle\lim_{y\to 0}\frac{\ln(y + 1)}{y}}=\frac{e\cdot 1}{1}=e[/latex]

3. zadatak sad ide slično. Napiše se
[latex]\displaystyle\frac{\cos 3x \cdot e^{3x^2} - 1}{(\sin x)^2}= \displaystyle\frac{\cos 3x \cdot (e^{3x^2} - 1)+(\cos 3x -1)}{(\sin x)^2}[/latex]
pa se podijele brojnik i nazivnik s x^2.
Rješenje je -3/2.
Zadaci s limesima:

1.
Nemoj postupno zanemarivati dijelove izraza od kojeg računaš limes. (Npr. tako je nestao onaj sinus u nazivniku.) To nije logički korektno (pa makar često dobili ispravan rezultat).
A inače si nešto algebarski spetljao. Trebalo bi npr. ovako:




2.



3. zadatak sad ide slično. Napiše se

pa se podijele brojnik i nazivnik s x^2.
Rješenje je -3/2.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
veky
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Sarma = la pohva - posuda
22 = 24 - 2
Lokacija: negdje daleko...
PostPostano: 0:54 uto, 1. 2. 2005    Naslov: Re: Problem oko rješavanja limesa Citirajte i odgovorite
1. zadatak
[latex]\lim_{x\to0}\frac{(1+x^2)e^{\frac{3}{2}x^2}-1}{x\sin2x}[/latex] [latex]=\lim_{x\to0}\frac{(1+x^2)(e^{\frac{3}{2}x^2}-1)+1+x^2-1}{x\sin2x}[/latex] [latex]
=\lim_{x\to0}\frac{(1+x^2)\frac{(e^{\frac{3}{2}x^2}-1)}{\frac{3}{2}x^2}\cdot\frac{3}{2}x^2+x^2}{x\sin2x}[/latex] [latex]=\lim_{x\to0}\frac{(1+x^2)\cdot A(x)\cdot\frac{3}{2}x^2+x^2}{x\sin2x}[/latex] [latex]=\lim_{x\to0}\frac{(\frac{3}{2}(1+x^2)\cdot A(x)+1)x^2}{x\sin2x}[/latex] [latex]=\lim_{x\to0}\frac{\frac{3}{2}(1+x^2)\cdot A(x)+1}{\frac{\sin2x}{x}}
[/latex] [latex]=\lim_{x\to0}\frac{\frac{3}{2}(1+x^2)\cdot A(x)+1}{\frac{\sin2x}{2x}\cdot2}[/latex] [latex]=\frac{\frac{3}{2}\cdot(1+0^2)\cdot1+1}{1\cdot2}[/latex] [latex]=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}[/latex], gdje je A(ž):=(e^ž-1)/ž . Naravno, limes funkcije A u nuli jednak je 1 , što smo iskoristili prilikom računanja našeg limesa. Vidi i dolje za neke važne napomene o tome.

2. zadatak
[latex]\lim_{x\to1}\frac{e^x-e}{\ln x}[/latex] [latex]=\lim_{y\to0}\frac{e\cdot\frac{e^y-1}{y}}{\frac{\ln(y+1)}{y}}[/latex] [latex]=\frac{e\cdot1}{1}=e[/latex]

3. zadatak
[latex]\lim_{x\to0}\frac{\cos3x\cdot e^{3x^2}-1}{\sin^2x}[/latex] (*kako si i ti krenuo*) [latex]=\lim_{x\to0}\frac{\cos3x(e^{3x^2}-1)+\cos3x-1}{\sin^2x}[/latex] [latex]=\lim_{x\to0}\frac{\cos3x\cdot\frac{e^{3x^2}-1}{3x^2}\cdot3+\frac{\cos3x-1}{(3x)^2}\cdot9}{(\frac{\sin x}{x})^2}[/latex] [latex]=\frac{1\cdot1\cdot3+(-\frac{1}{2}\cdot9}{1^2}=3-\frac{9}{2}=-\frac{3}{2}[/latex]

A sad malo o načinu računanja. Kao što si vjerojatno uočio, stvar je supstitucijom (najčešće translacijom ili recipročnom vrijednošću ako se radi o [latex]\infty[/latex] svesti varijablu limesa (recimo x ) da teži u nulu, i nakon toga izgraditi (množenjem/dijeljenjem i zbrajanjem/oduzimanjem prikladnih izrazâ) dani izraz od puno malih "cigala", koje su uglavnom dva tipa: ili izrazi koji su vrijednosti neprekidnih funkcijâ od x (na primjer ovaj 1+x^2 , ili cos3x , gore), pa su im limesi pri x->0 jednaki funkcijskim vrijednostima za x=0 , ili pak neki od "tabličnih" dobro poznatih izraza čije limese u nuli znamo, npr. (e^x-1)/x , sinx/x , ln(1+x)/x , (cosx-1)/x^2 itd. [size=9](Ima tu još nekih trikova, no pomoću ovih se može riješiti velik broj zadataka.)[/size]

(e sad dolazi važan dio) [b]Nakon toga[/b], nakon što smo stvar kompletno napisali pomoću dobrih računskih operacijâ i gore navedenih građevnih blokova, _tada_ primjenjujemo teoreme o limesima da zaključimo da limes toga postoji, i da je jednak izrazu u koji se na mjesto danih građevnih blokova uvrste njihovi limesi. _Svi odjednom_ - to je kritično.

Vidim gore da pišeš, i nažalost nisi jedini (vidjeh mnoge da su to isto radili na kolokviju iz analize), u stilu,
lim...blabla...([color=red](e^2x-1)/2x[/color]*2+[color=blue]3x[/color])/...blabla...=
=lim...blabla...([color=red]1[/color]*2+[color=blue]3x[/color])/...blabla...
, odnosno da _pod limesom_ zamjenjuješ _neke_, ali ne sve (primijeti plavi 3x koji je ostao čekati neke bolje dane), funkcije varijable x , njihovim limesima. [b]To nije matematički opravdano[/b], i lako može dovesti do pogrešnih rezultatâ. Evo primjera koji je namjerno banalan da se lakše uoči greška (nije ga problem zakomplicirati), ali je razmišljanje istog tipa:

Imam [latex]\lim_{x\to0}\frac{x}{x}[/latex]. Naravno, funkcija pod limesom jednaka je svuda osim u 0 konstanti 1 , pa je i njen limes jednak limesu konstante 1 u 0 , dakle 1 . [b]No[/b], kad bih na to primijenio gornje razmišljanje, mogao bih reći: aha, ovaj gornji x mi ide u 0 , dakle mogu njega zamijeniti s 0 i računati limes dalje...

U tom slučaju, dobio bih [latex]\lim_{x\to0}\frac{0}{x}[/latex], no sad je funkcija pod limesom svuda osim u 0 jednaka konstanti _0_, te je i limes jednak 0. Ukratko, dobio bih glupost. Zašto?

Otprilike (na MA3 naučit ćete više), zato što ne mogu razlikovati pojedine x-eve pod limesom. Operator limesa je gore jedan jedini, i kaže da _svi_ x-evi koji se pojavljuju u izrazu pod limesom, moraju simultano i jednako težiti k 0 (ili čemu već). Ne mogu jedne već zamijeniti njihovim limesima, a druge ne. Tj. mogu, ako mi je funkcija u pitanju neprekidna kao _funkcija više varijabli_. No to nije isti pojam kao neprekidnost funkcije jedne varijable, i s razlogom je njegovo žvakanje ostavljeno za drugu godinu. Zasad samo treba znati da gornje razmišljanje ne valja, i može dovesti do krivih rezultata.

Kako onda treba razmišljati? Naravno, bilo bi idealno svaki od tih malih izraza pisati svaki put iznova kad neki drugi dio limesa želimo raspisati, no to bi, ako ne planiramo jako dobro, ubrzo dovelo do ogromne redundancije, i još do ogromnih izraza u kojima bismo se teško snašli. Jedno od rješenja je uvesti funkcijsku supstituciju, kao što sam ja gore napravio u rješenju prvog zadatka. Primijeti: kad mi se pojavio (e^(3/2*x^2)-1)/(3/2*x^2) , nisam ga išao prepisivati kasnije (puno bespotrebnog posla, ali korektno), niti sam ga zamijenio njegovim limesom u nuli, brojem 1 ([b]netočno![/b]), već sam uveo novo slovo i označio ga s A(x) . Znajući da mi je [latex]\lim_{x\to0}A(x)=1[/latex], ali isto tako znajući da tu zamjenu ( A(x) sa 1 ) mogu izvesti tek na kraju, kad složim sve ostale građevne blokove na svoja mjesta, i riješim se znaka [latex]\lim[/latex] ispred.

Jasnije?
1. zadatak
, gdje je A(ž):=(e^ž-1)/ž . Naravno, limes funkcije A u nuli jednak je 1 , što smo iskoristili prilikom računanja našeg limesa. Vidi i dolje za neke važne napomene o tome.

2. zadatak


3. zadatak
(*kako si i ti krenuo*)

A sad malo o načinu računanja. Kao što si vjerojatno uočio, stvar je supstitucijom (najčešće translacijom ili recipročnom vrijednošću ako se radi o svesti varijablu limesa (recimo x ) da teži u nulu, i nakon toga izgraditi (množenjem/dijeljenjem i zbrajanjem/oduzimanjem prikladnih izrazâ) dani izraz od puno malih "cigala", koje su uglavnom dva tipa: ili izrazi koji su vrijednosti neprekidnih funkcijâ od x (na primjer ovaj 1+x^2 , ili cos3x , gore), pa su im limesi pri x→0 jednaki funkcijskim vrijednostima za x=0 , ili pak neki od "tabličnih" dobro poznatih izraza čije limese u nuli znamo, npr. (e^x-1)/x , sinx/x , ln(1+x)/x , (cosx-1)/x^2 itd. (Ima tu još nekih trikova, no pomoću ovih se može riješiti velik broj zadataka.)

(e sad dolazi važan dio) Nakon toga, nakon što smo stvar kompletno napisali pomoću dobrih računskih operacijâ i gore navedenih građevnih blokova, _tada_ primjenjujemo teoreme o limesima da zaključimo da limes toga postoji, i da je jednak izrazu u koji se na mjesto danih građevnih blokova uvrste njihovi limesi. _Svi odjednom_ - to je kritično.

Vidim gore da pišeš, i nažalost nisi jedini (vidjeh mnoge da su to isto radili na kolokviju iz analize), u stilu,
lim...blabla...((e^2x-1)/2x*2+3x)/...blabla...=
=lim...blabla...(1*2+3x)/...blabla...
, odnosno da _pod limesom_ zamjenjuješ _neke_, ali ne sve (primijeti plavi 3x koji je ostao čekati neke bolje dane), funkcije varijable x , njihovim limesima. To nije matematički opravdano, i lako može dovesti do pogrešnih rezultatâ. Evo primjera koji je namjerno banalan da se lakše uoči greška (nije ga problem zakomplicirati), ali je razmišljanje istog tipa:

Imam . Naravno, funkcija pod limesom jednaka je svuda osim u 0 konstanti 1 , pa je i njen limes jednak limesu konstante 1 u 0 , dakle 1 . No, kad bih na to primijenio gornje razmišljanje, mogao bih reći: aha, ovaj gornji x mi ide u 0 , dakle mogu njega zamijeniti s 0 i računati limes dalje...

U tom slučaju, dobio bih , no sad je funkcija pod limesom svuda osim u 0 jednaka konstanti _0_, te je i limes jednak 0. Ukratko, dobio bih glupost. Zašto?

Otprilike (na MA3 naučit ćete više), zato što ne mogu razlikovati pojedine x-eve pod limesom. Operator limesa je gore jedan jedini, i kaže da _svi_ x-evi koji se pojavljuju u izrazu pod limesom, moraju simultano i jednako težiti k 0 (ili čemu već). Ne mogu jedne već zamijeniti njihovim limesima, a druge ne. Tj. mogu, ako mi je funkcija u pitanju neprekidna kao _funkcija više varijabli_. No to nije isti pojam kao neprekidnost funkcije jedne varijable, i s razlogom je njegovo žvakanje ostavljeno za drugu godinu. Zasad samo treba znati da gornje razmišljanje ne valja, i može dovesti do krivih rezultata.

Kako onda treba razmišljati? Naravno, bilo bi idealno svaki od tih malih izraza pisati svaki put iznova kad neki drugi dio limesa želimo raspisati, no to bi, ako ne planiramo jako dobro, ubrzo dovelo do ogromne redundancije, i još do ogromnih izraza u kojima bismo se teško snašli. Jedno od rješenja je uvesti funkcijsku supstituciju, kao što sam ja gore napravio u rješenju prvog zadatka. Primijeti: kad mi se pojavio (e^(3/2*x^2)-1)/(3/2*x^2) , nisam ga išao prepisivati kasnije (puno bespotrebnog posla, ali korektno), niti sam ga zamijenio njegovim limesom u nuli, brojem 1 (netočno!), već sam uveo novo slovo i označio ga s A(x) . Znajući da mi je , ali isto tako znajući da tu zamjenu ( A(x) sa 1 ) mogu izvesti tek na kraju, kad složim sve ostale građevne blokove na svoja mjesta, i riješim se znaka ispred.

Jasnije?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
Rodman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 09. 2003. (14:08:59)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 10:01 uto, 1. 2. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
Puno Hvala svima na pomoci oko rjesavanja i objasnjenja prijasnih zadataka! :D

je ovo ispravno rijesena derivacija složene funkcije?
[latex] f(x)= {x}^{\arctan \cdot \sqrt {(x^2 - x)}} [/latex]

[latex] \ln f(x)= \arctan \cdot \sqrt {(x^2 - x)} \cdot \ln x [/latex]

[latex]( \ln f(x))'= (\arctan \cdot \sqrt {(x^2 - x)} \cdot \ln x)' [/latex]

[latex] \frac{ f(x)'}{f(x)}=( \arctan \cdot \sqrt {(x^2 - x)} \cdot \ln x )'[/latex]

[latex] f(x)'= {(\arctan \cdot \sqrt {(x^2 - x)} \cdot \ln x)'} \cdot f(x) [/latex]

[latex] f(x)'=({ ( \frac{(\frac{1}{2 \cdot \sqrt {x^2 - x}}) \cdot (2x - 1)}{x^2 - x + 1}} \cdot {\ln x } +{( \arctan \cdot \sqrt {(x^2 - x)})} \cdot \frac{1}{x}) \cdot {x}^{\arctan \cdot \sqrt {(x^2 - x)}} [/latex]
Puno Hvala svima na pomoci oko rjesavanja i objasnjenja prijasnih zadataka! Very Happy

je ovo ispravno rijesena derivacija složene funkcije?












[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
veky
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Sarma = la pohva - posuda
22 = 24 - 2
Lokacija: negdje daleko...
PostPostano: 10:26 uto, 1. 2. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Rodman"]Puno Hvala svima na pomoci oko rjesavanja i objasnjenja prijasnih zadataka! :D

je ovo ispravno rijesena derivacija složene funkcije?[/quote]

\cdot je oznaka za množenje, i ne ide između arctg i njegovog argumenta :shock: , i ne treba ti toliko zagrada, i može se još srediti ono na kraju, ali da, princip je dobar.

Jesi shvatio moju gornju priču o limesima (kako ih _ne_ rješavati)?
Rodman (napisa):
Puno Hvala svima na pomoci oko rjesavanja i objasnjenja prijasnih zadataka! Very Happy

je ovo ispravno rijesena derivacija složene funkcije?


\cdot je oznaka za množenje, i ne ide između arctg i njegovog argumenta Shocked , i ne treba ti toliko zagrada, i može se još srediti ono na kraju, ali da, princip je dobar.

Jesi shvatio moju gornju priču o limesima (kako ih _ne_ rješavati)?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
Rodman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 09. 2003. (14:08:59)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 12:51 uto, 1. 2. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="veky"]

\cdot je oznaka za množenje, i ne ide između arctg i njegovog argumenta :shock: , i ne treba ti toliko zagrada, i može se još srediti ono na kraju, ali da, princip je dobar.

[/quote]
da znam,to sam u brzini pisanja slucajno pogresio


[quote="veky"]Jesi shvatio moju gornju priču o limesima (kako ih _ne_ rješavati)?
[/quote]uspio sam shvatit pravi nacin rjesavanja limesa,još jedanput,thanks! :)
veky (napisa):


\cdot je oznaka za množenje, i ne ide između arctg i njegovog argumenta Shocked , i ne treba ti toliko zagrada, i može se još srediti ono na kraju, ali da, princip je dobar.


da znam,to sam u brzini pisanja slucajno pogresio


veky (napisa):
Jesi shvatio moju gornju priču o limesima (kako ih _ne_ rješavati)?
uspio sam shvatit pravi nacin rjesavanja limesa,još jedanput,thanks! Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16
PostPostano: 13:02 uto, 1. 2. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="veky"]Jesi shvatio moju gornju priču o limesima (kako ih _ne_ rješavati)?[/quote]
Inače tu priču sam ja ponovio 20-ak puta na žalbama za 2. kolokvij iz Analize 1 :roll: pa mi se više nije dalo ponavljati je. (Na to sam mislio pod onim postupnim računanjem/zanemarivanjem.)
Skidao sam po nekoliko bodova studentima koji bi takvim zaključivanjem dobili točan rezultat (a i postupak bi im se trivijalno dao popraviti samo da nisu [i]prerano[/i] prešli na limes u nekom dijelu izraza).
Moj protuprimjer je bio (tamo se radilo o limesu niza, ali svejedno je):
[latex]\displaystyle\frac{2}{5}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3+3n^2}{5n^3+7n^2}=\left[\displaystyle\frac{:n^4}{:n^4}\right]=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2}}=(\textrm{krivo})=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{0+\frac{3}{n^2}}{0+\frac{7}{n^2}}=\left[\displaystyle\frac{\cdot n^2}{\cdot n^2}\right]=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3}{7}=\displaystyle\frac{3}{7}[/latex]
Studentima se uglavnom nije svidio. Rekli bi: pa zašto smo dijelili s n^4, kad je "najveća" potencija n^3. :)
veky (napisa):
Jesi shvatio moju gornju priču o limesima (kako ih _ne_ rješavati)?

Inače tu priču sam ja ponovio 20-ak puta na žalbama za 2. kolokvij iz Analize 1 Rolling Eyes pa mi se više nije dalo ponavljati je. (Na to sam mislio pod onim postupnim računanjem/zanemarivanjem.)
Skidao sam po nekoliko bodova studentima koji bi takvim zaključivanjem dobili točan rezultat (a i postupak bi im se trivijalno dao popraviti samo da nisu prerano prešli na limes u nekom dijelu izraza).
Moj protuprimjer je bio (tamo se radilo o limesu niza, ali svejedno je):

Studentima se uglavnom nije svidio. Rekli bi: pa zašto smo dijelili s n^4, kad je "najveća" potencija n^3. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Rodman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 09. 2003. (14:08:59)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 16:57 ned, 13. 2. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite
[latex]
\lim_{x\to + \infty}\frac{x \cdot \ln (x^2) }{x^2 + x + 1} = [ \frac{: x^2}{: x^2}] = \lim_{x\to + \infty}\frac{\frac{x \cdot \ln (x^2) }{x^2} }{\frac {x^2 + x + 1}{x^2}} [/latex]
[latex] \lim_{x\to + \infty} \frac{\frac{ \ln (x^2) }{x}}{A(y)} = [/latex]

[latex]A(y)= 1+ \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} =[/latex]
limes od A(y) u + [latex] \infty[/latex] je 1

=[latex] \lim_{x\to + \infty} \frac{\ln x^{\frac{2}{x}} }{A(y)} = [/latex]

=[latex]\frac{ln \cdot \lim_{x\to + \infty} x^{\frac{2}{x}} }{ \lim_{x\to + \infty} A(y) } [/latex]

=[latex]\frac{ln \cdot e^{\lim_{x\to + \infty} (x-1) \cdot {\frac{2}{x}}} }{ \lim_{x\to + \infty} A(y) } [/latex]

=[latex]\frac{ln \cdot e^{\lim_{x\to + \infty} {\frac{2x - 2}{x}}} }{ \lim_{x\to + \infty} A(y) } [/latex]

=[latex]\frac{ln \cdot e^{\lim_{x\to + \infty} {2 - \frac{2}{x}}}}{ \lim_{x\to + \infty} A(y) } [/latex]

=[latex]\frac{ln \cdot e^{2}}{1} =2[/latex]

dobro sam rijesio limes? sa [latex] - \infty[/latex] se isto rjesava i isto je rjesenje?barem sam tako ja dobio




limes od A(y) u + je 1

=

=

=

=

=

=

dobro sam rijesio limes? sa se isto rjesava i isto je rjesenje?barem sam tako ja dobio


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan