Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadatak (Integral)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Kompleksna analiza
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Gia
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 20. 06. 2004. (00:46:02)
Postovi: (1D)16
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 4:40 sub, 4. 12. 2004    Naslov: Zadatak (Integral) Citirajte i odgovorite

Molila bih ako mi netko moze rijesiti ovaj zadatak ili barem pojasniti sto znaci "da [latex] \gamma[/latex] ne prolazi nijedom od tocaka"

Odredi sve moguce vrijednosti integrala

[latex]
\int_\gamma \frac{dz}{z(z^2 -1)} \
[/latex]

za razlicite konture [latex] \gamma[/latex] koje ne prolaze ni jednom od tocaka 0, 1 i -1.

Hvala
Molila bih ako mi netko moze rijesiti ovaj zadatak ili barem pojasniti sto znaci "da ne prolazi nijedom od tocaka"

Odredi sve moguce vrijednosti integrala



za razlicite konture koje ne prolaze ni jednom od tocaka 0, 1 i -1.

Hvala



_________________
#Smile_colors

Gia
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
veky
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Sarma = la pohva - posuda
22 = 24 - 2
Lokacija: negdje daleko...

PostPostano: 10:53 sub, 4. 12. 2004    Naslov: Re: Zadatak (Integral) Citirajte i odgovorite

[quote="Gia"]Molila bih ako mi netko moze rijesiti ovaj zadatak ili barem pojasniti sto znaci "da [latex] \gamma[/latex] ne prolazi nijedom od tocaka"
[/quote]

Znači da ide oko njih. ;-)
Preciznije, znači da je {-1,0,1} disjunktan sa slikom od gamma .
Želi se samo reći da je taj integral pravi, odnosno da je podintegralna funkcija definirana duž cijelog puta integracije. Primijeti da nije definirana upravo u -1 , 0 i 1 .

A hint za rješavanje: obrtni broj, i teorem o reziduumima.
Gia (napisa):
Molila bih ako mi netko moze rijesiti ovaj zadatak ili barem pojasniti sto znaci "da ne prolazi nijedom od tocaka"


Znači da ide oko njih. Wink
Preciznije, znači da je {-1,0,1} disjunktan sa slikom od gamma .
Želi se samo reći da je taj integral pravi, odnosno da je podintegralna funkcija definirana duž cijelog puta integracije. Primijeti da nije definirana upravo u -1 , 0 i 1 .

A hint za rješavanje: obrtni broj, i teorem o reziduumima.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
cinik
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 27. 04. 2003. (23:34:09)
Postovi: (1FB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
28 = 43 - 15
Lokacija: /proc/sys/cpu/

PostPostano: 11:10 sub, 4. 12. 2004    Naslov: Re: Zadatak (Integral) Citirajte i odgovorite

[quote="Gia"]
Odredi sve moguce vrijednosti integrala

[latex]
\int_\gamma \frac{dz}{z(z^2 -1)} \
[/latex]

za razlicite konture [latex] \gamma[/latex] koje ne prolaze ni jednom od tocaka 0, 1 i -1.
[/quote]

Da [latex]\gamma[/latex] ne prolazi tockama 1, -1 i 0 znaci tocno to sto kaze. Radi se u kompleksnoj ravnini -- dakle nesto tipa kruznica oko nule radijusa [latex]{1\over 2}[/latex].


Primjenjujemo teorem o residuumima.


Dakle, [latex]\gamma[/latex] moze obilaziti niti jednu od tih tocaka. Tada je integral 0, jer je funkcija ocito holomorfna u cijeloj kompleksnoj ravnini bez 0,1,-1.

Neka je [latex]f(z)={1\over z(z^2-1)}[/latex]
Racunamo residuume.
U tocki 0 razvucemo funkciju u red
[latex]
\eqalign{
f(z)&={1\over z}{1\over z-1}{1\over z+1}\cr
&={1\over z}\left({-\sum\limits_{n\geq0}z^n}\right)\left({\sum\limits_{n\geq0}(-z)^n}\right)\cr
&=-{1\over z}+\cdots\cr
}[/latex]
Pa znamo da je residuum u 0 jednak 1 (sjeti se, Residuum je koeficijent uz -1. clan Laurentovog reda).

Neka je sada [latex]y:=z-1[/latex], pa racunamo residuum u 1.
[latex]
\eqalign{
f(z)&={1\over z}{1\over z-1}{1\over z+1}\cr
&={1\over y+1}{1\over y}{1\over y+2}\cr
&={1\over y+1}{1\over y}{1\over 2\left({1\over 2}y+1\right)}\cr
&={1\over 2}{1\over y}\left({\sum\limits_{n\geq0}(-y)^n}\right)\left({\sum\limits_{n\geq0}\left({-y\over 2}\right)^n}\right)\cr
&={1\over 2}{1\over y}+\cdots\cr
}[/latex]

Dakle, u 1 je residuum [latex]{1\over 2}[/latex].

Jos je ostalo -1.

Neka je sada [latex]w:=z+1[/latex], pa racunamo residuum u 1.
[latex]
\eqalign{
f(z)&={1\over z}{1\over z-1}{1\over z+1}\cr
&={1\over w-1}{1\over w-2}{1\over w}\cr
&={1\over 1-w}{1\over w}{1\over 2\left(1-{1\over 2}w\right)}\cr
&={1\over 2}{1\over w}\left({\sum\limits_{n\geq0}(w)^n}\right)\left({\sum\limits_{n\geq0}\left({w\over 2}\right)^n}\right)\cr
}[/latex]

Dakle, i u -1 je residuum jednak [latex]{1\over 2}[/latex].

E, sad:

Imamo 8 mogucnosti, (zapravo 16, jer nije odredjen smjer), za svaki od polova po dvije ([latex]\top[/latex] ako obilazi pol, [latex]\bot[/latex] ako ne).
[latex]$
\halign{
\strut\hfill#\hfill&\hfill#\hfill&\hfill#\hfill&#\vrule&\hfill#\hfill\cr
$0$&$-1$&$1$&&$\int_\gamma f$\cr
\qquad&\qquad&\qquad&&\qquad\cr
\noalign{\vskip-12pt\hrule}
$\bot$&$\bot$&$\bot$&&$0$\cr
$\bot$&$\bot$&$\top$&&${1\over 2}$\cr
$\bot$&$\top$&$\bot$&&${1\over 2}$\cr
$\bot$&$\top$&$\top$&&$1$\cr
$\top$&$\bot$&$\bot$&&$-1$\cr
$\top$&$\bot$&$\top$&&$-{1\over 2}$\cr
$\top$&$\top$&$\bot$&&$-{1\over 2}$\cr
$\top$&$\top$&$\top$&&$0$\cr
}$[/latex]


Ovo je samo za jedan prolaz oko svakog pola. Opcenito, ako je [latex]
\nu_z[/latex] broj obilazenja krivulje [latex]\gamma[/latex] oko pola [latex] z[/latex], tada je
[latex]\displaystyle \int_\gamma {1\over z(z^2-1)}={1\over 2}\left({\nu_{-1}+\nu_1}\right)-\nu_0[/latex]


'ave fun!


Sinisa
Gia (napisa):

Odredi sve moguce vrijednosti integrala



za razlicite konture koje ne prolaze ni jednom od tocaka 0, 1 i -1.


Da ne prolazi tockama 1, -1 i 0 znaci tocno to sto kaze. Radi se u kompleksnoj ravnini – dakle nesto tipa kruznica oko nule radijusa .


Primjenjujemo teorem o residuumima.


Dakle, moze obilaziti niti jednu od tih tocaka. Tada je integral 0, jer je funkcija ocito holomorfna u cijeloj kompleksnoj ravnini bez 0,1,-1.

Neka je
Racunamo residuume.
U tocki 0 razvucemo funkciju u red

Pa znamo da je residuum u 0 jednak 1 (sjeti se, Residuum je koeficijent uz -1. clan Laurentovog reda).

Neka je sada , pa racunamo residuum u 1.


Dakle, u 1 je residuum .

Jos je ostalo -1.

Neka je sada , pa racunamo residuum u 1.


Dakle, i u -1 je residuum jednak .

E, sad:

Imamo 8 mogucnosti, (zapravo 16, jer nije odredjen smjer), za svaki od polova po dvije ( ako obilazi pol, ako ne).



Ovo je samo za jedan prolaz oko svakog pola. Opcenito, ako je broj obilazenja krivulje oko pola , tada je



'ave fun!


Sinisa



_________________
Oslobodjen Senata.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
Gost






PostPostano: 13:13 sub, 4. 12. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nije li residuum u 0 jednak -1?
Nije li residuum u 0 jednak -1?


[Vrh]
@#
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 28. 01. 2004. (19:08:55)
Postovi: (36)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0
Lokacija: math

PostPostano: 14:26 sub, 4. 12. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Anonymous"]Nije li residuum u 0 jednak -1?[/quote]

jest. 8)
a sto se tice visestrukih obilazaka.. nije li kontura nesto sto je injektivno i zatvoreno? pa onda ne moze vise puta obici oko neke tocke. moze samo u jednom i u drugom smjeru, ili zaobici.
Anonymous (napisa):
Nije li residuum u 0 jednak -1?


jest. 8)
a sto se tice visestrukih obilazaka.. nije li kontura nesto sto je injektivno i zatvoreno? pa onda ne moze vise puta obici oko neke tocke. moze samo u jednom i u drugom smjeru, ili zaobici.



_________________
--
~#!'<0 !'0 0)' ('0|'# v|)'| =v# ...
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Kompleksna analiza Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan