|
[quote="Gia"]
Odredi sve moguce vrijednosti integrala
[latex]
\int_\gamma \frac{dz}{z(z^2 -1)} \
[/latex]
za razlicite konture [latex] \gamma[/latex] koje ne prolaze ni jednom od tocaka 0, 1 i -1.
[/quote]
Da [latex]\gamma[/latex] ne prolazi tockama 1, -1 i 0 znaci tocno to sto kaze. Radi se u kompleksnoj ravnini -- dakle nesto tipa kruznica oko nule radijusa [latex]{1\over 2}[/latex].
Primjenjujemo teorem o residuumima.
Dakle, [latex]\gamma[/latex] moze obilaziti niti jednu od tih tocaka. Tada je integral 0, jer je funkcija ocito holomorfna u cijeloj kompleksnoj ravnini bez 0,1,-1.
Neka je [latex]f(z)={1\over z(z^2-1)}[/latex]
Racunamo residuume.
U tocki 0 razvucemo funkciju u red
[latex]
\eqalign{
f(z)&={1\over z}{1\over z-1}{1\over z+1}\cr
&={1\over z}\left({-\sum\limits_{n\geq0}z^n}\right)\left({\sum\limits_{n\geq0}(-z)^n}\right)\cr
&=-{1\over z}+\cdots\cr
}[/latex]
Pa znamo da je residuum u 0 jednak 1 (sjeti se, Residuum je koeficijent uz -1. clan Laurentovog reda).
Neka je sada [latex]y:=z-1[/latex], pa racunamo residuum u 1.
[latex]
\eqalign{
f(z)&={1\over z}{1\over z-1}{1\over z+1}\cr
&={1\over y+1}{1\over y}{1\over y+2}\cr
&={1\over y+1}{1\over y}{1\over 2\left({1\over 2}y+1\right)}\cr
&={1\over 2}{1\over y}\left({\sum\limits_{n\geq0}(-y)^n}\right)\left({\sum\limits_{n\geq0}\left({-y\over 2}\right)^n}\right)\cr
&={1\over 2}{1\over y}+\cdots\cr
}[/latex]
Dakle, u 1 je residuum [latex]{1\over 2}[/latex].
Jos je ostalo -1.
Neka je sada [latex]w:=z+1[/latex], pa racunamo residuum u 1.
[latex]
\eqalign{
f(z)&={1\over z}{1\over z-1}{1\over z+1}\cr
&={1\over w-1}{1\over w-2}{1\over w}\cr
&={1\over 1-w}{1\over w}{1\over 2\left(1-{1\over 2}w\right)}\cr
&={1\over 2}{1\over w}\left({\sum\limits_{n\geq0}(w)^n}\right)\left({\sum\limits_{n\geq0}\left({w\over 2}\right)^n}\right)\cr
}[/latex]
Dakle, i u -1 je residuum jednak [latex]{1\over 2}[/latex].
E, sad:
Imamo 8 mogucnosti, (zapravo 16, jer nije odredjen smjer), za svaki od polova po dvije ([latex]\top[/latex] ako obilazi pol, [latex]\bot[/latex] ako ne).
[latex]$
\halign{
\strut\hfill#\hfill&\hfill#\hfill&\hfill#\hfill&#\vrule&\hfill#\hfill\cr
$0$&$-1$&$1$&&$\int_\gamma f$\cr
\qquad&\qquad&\qquad&&\qquad\cr
\noalign{\vskip-12pt\hrule}
$\bot$&$\bot$&$\bot$&&$0$\cr
$\bot$&$\bot$&$\top$&&${1\over 2}$\cr
$\bot$&$\top$&$\bot$&&${1\over 2}$\cr
$\bot$&$\top$&$\top$&&$1$\cr
$\top$&$\bot$&$\bot$&&$-1$\cr
$\top$&$\bot$&$\top$&&$-{1\over 2}$\cr
$\top$&$\top$&$\bot$&&$-{1\over 2}$\cr
$\top$&$\top$&$\top$&&$0$\cr
}$[/latex]
Ovo je samo za jedan prolaz oko svakog pola. Opcenito, ako je [latex]
\nu_z[/latex] broj obilazenja krivulje [latex]\gamma[/latex] oko pola [latex] z[/latex], tada je
[latex]\displaystyle \int_\gamma {1\over z(z^2-1)}={1\over 2}\left({\nu_{-1}+\nu_1}\right)-\nu_0[/latex]
'ave fun!
Sinisa
| Gia (napisa): |
Odredi sve moguce vrijednosti integrala
za razlicite konture  koje ne prolaze ni jednom od tocaka 0, 1 i -1.
|
Da  ne prolazi tockama 1, -1 i 0 znaci tocno to sto kaze. Radi se u kompleksnoj ravnini – dakle nesto tipa kruznica oko nule radijusa  .
Primjenjujemo teorem o residuumima.
Dakle, moze obilaziti niti jednu od tih tocaka. Tada je integral 0, jer je funkcija ocito holomorfna u cijeloj kompleksnoj ravnini bez 0,1,-1.
Neka je 
Racunamo residuume.
U tocki 0 razvucemo funkciju u red
Pa znamo da je residuum u 0 jednak 1 (sjeti se, Residuum je koeficijent uz -1. clan Laurentovog reda).
Neka je sada  , pa racunamo residuum u 1.
Dakle, u 1 je residuum .
Jos je ostalo -1.
Neka je sada  , pa racunamo residuum u 1.
Dakle, i u -1 je residuum jednak .
E, sad:
Imamo 8 mogucnosti, (zapravo 16, jer nije odredjen smjer), za svaki od polova po dvije ( ako obilazi pol,  ako ne).
Ovo je samo za jedan prolaz oko svakog pola. Opcenito, ako je  broj obilazenja krivulje oko pola  , tada je
'ave fun!
Sinisa
_________________
Oslobodjen Senata.
|
