|
|
Detalji o izabranom predavanju:
| Seminar: | Seminar za numeričku matematiku i znan. računanje |
| Naziv predavanja: | Eksponencijalno prilagođene diferencijske sheme višeg reda |
| Predavač: | Miljenko Marušić |
| Vrijeme: |
19.09.2019 12:15 |
| Predavaonica: | 104 |
| Tip: |
Originalan rad |
| Opis: | Promatramo singularno perturbirani rubni problem oblika:
$$
\varepsilon y'' + b y' + c y= f,
\quad y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
$$
gdje je $\varepsilon$ mali parametar ($0<\varepsilon \ll 1$)
i funkcija $c$ zadovoljava $c<0$.
Kod rješenja gornje diferencijalne jednadžbe pojavljuje se tzv. fenomen rubnog sloja, tj.
eksponencijalno ponašanje u jednom rubu intervala (strana ovisi o predznaku funkcije $b$).
Klasični pristup ovom problemu ne daje zadovoljavajući rezultat jer argument
'metoda konvergira za dovoljno malu širinu mreže $h$' povlači
da je $h$ istog reda veličine kao perturbacijski parametar $\varepsilon$
što u praksi nije prihvatljivo.
Često svojstvo numeričkih metoda za singularno perturbirane probleme je
$\varepsilon$-uniformna konvergencija.
Metoda je $\varepsilon$-uniformno konvergentna ukoliko postoje neke konstante $C$ i $m$,
neovisne o $\varepsilon$, takve da egzaktno rješenje problema $u$ i njegova aproksimacija u
čvorovima mreže $u_i$ zadovoljavaju
$$
\max_{\varepsilon \in [0,1]} |u(x_i)-u_i| \leq C h^m
$$
za sve $i$.
Jedna klasa metoda za singularno perturbirane probleme zasniva se na upotrebi mreže koja je
gusta u rubnom sloju.
Mnoge standardne metode su $\varepsilon$-uniformno konvergentne u tom slučaju.
Drugi pristup, koji će ovdje biti opisan, je korištenje ekosponencijalno prilagođenih shema koje
daju egzaktno rješenje ako je ono eksponencijalna funkcija.
Takve sheme nisu $\varepsilon$-uniformno konvergentne.
Promatrane diferencijske sheme su izvedene iz interpolacijskih formula za eksponencijalne sume.
Koristeći interpolacijsku funkciju izvedene su formule za numeričko deriviranje
(EFDF, 'exponentially fitted differentiation formulas') koje su egzaktne na eksponencijalnim sumama s bazom
$$1, x, x^2,\ldots,x^{k-2},\exp(-\rho x).$$
Red sheme ($k$) je proizvoljan dok je $\rho$ parametar prilagođen eksponencijalnom ponašanju egzaktnog rješenja
singularno perturbiranog rubnog problema u rubnom sloju.
Za fiksirani $k$ postoji $k$ različitih formula za deriviranje pa prema tome i $k$ različitih diferencijskih shema.
Koristeći ocjenu za interpolacijsku pogrešku lagano se pokaže
konzistentnost shema proizvoljnog reda.
Kada se shema koristi na ekvidistantnoj mreži $0=x_0 < x_1 < \ldots< x_n$, $x_{i+1}-x_i=h$ i pogreška odsijecanja
u točki $x_i$ zadovoljava
$$
\max_{i} |u(x_i)-u_i| \leq C h^{k-2}
$$
za $h \geq 4(m-2)\varepsilon \ln (1/\varepsilon) / b_{\min} $ i metodu reda $k$. Konstanta $C$ ne ovisi o $h$ i $\varepsilon$.
Stabilnost (prema tome i konvergencija) je dokazana za sheme koje koriste tri i četiri interpolacijske točke.
U analizi stabilnosti shema višeg reda promatra se granični slučaj kada
$\varepsilon \rightarrow 0$.
Ovaj pristup omogućava proucavanje širokog raspona EFDF shema.
Važno svojstvo EFDF shema za singularno perturbirani rubni problem je da se u graničnom slučaju kada
$\varepsilon \rightarrow 0$ svode na tzv. 'boundary value' metodu za inicijalni problem za obične diferencijalne
jednadžbe. Stabilnost EFDF shema je na taj način povezano sa stabilnošću 'boundary value' metode.
Na osnovu toga može se odrediti koje EFDF sheme nisu stabilne.
Iako uvjet na širinu mreže ($h$) nije značajno ograničenje, može se konstruirati prilagođena mreža,
gusta u rubnom sloju, koja garantira istu ocjenu i za manji $h$ pa je metoda tada i $\varepsilon$-uniformno konvergentna.
U analizi stabilnosti, bitni su uvjeti na funkcije $b$ i $c$ iz rubnog problema.
Slučajevi 1) $b \neq 0$ i $c>0$, 2) $b \neq 0$ i $c=0$ i 3) $b = 0$ i $c>0$ zahtjevaju posebne analize stabilnosti metode.
|
|
|
